Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7024

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5.3. Причинные векторные поля

279

Теперь поля уничтожения и рождения принимают вид

ås

X

d3p

ϕ+m (x) = ϕ-m† (x) = (2π)-3/2

Y

em (p, σ)a(p, σ)eip×x .

(5.3.26)

Z

2p0

Конечно, поля ϕ+μ(x) è ϕ+ν(y) коммутируют (или антикоммутируют) для всех x и y. Но это не относится к полям ϕ+μ(x) è ϕ−ν(y).

Коммутатор (для бозонов) или антикоммутатор (для фермионов) этих полей равен

ϕ+m (x), ϕ-n(y)

X

d3p

eip×(x-y)Πmn

= Y

(p) ,

(5.3.27)

m

(2π)3 2p0

ãäå

Z

Πμν (p) ≡ åeμ (p, σ)eν* (p, σ) .

(5.3.28)

s

Непосредственное вычисление с помощью (5.3.25) показывает, что Πμν(0) является проекционной матрицей на пространство, ортого-

нальное направлению временной оси. Тогда из (5.3.24) следует, что

Πμν(p) есть проекционная матрица на пространство, ортогональное 4-вектору pμ:

Πμν (p) = ημν + pμ pν / m2 .

(5.3.29)

Коммутатор (или антикоммутатор) (5.3.27) можно выразить через функцию +, которую мы определили в предыдущем разделе:

ϕ+m (x), ϕ-n (y)

L

ηmn −

∂m∂n O

m

= M

m2

P

N

Q

+ (x − y).

(5.3.30)

Важное свойство этого выражения заключается в том, что оно не обращается в нуль при пространственноподобных x − y и четно относительно x − y. Поэтому можно повторить рассуждения преды-

дущего раздела для построения причинного поля. Образуем линейную комбинацию полей уничтожения и рождения

vμ (x) ≡ κϕ+μ (x) + λϕ−μ (x),

280

Глава 5.

Квантовые поля и античастицы

для которой при пространственноподобных x − y

[vm (x), vn (y)]

L

ηmn −

∂m∂n O

(x − y) ,

m

= κλ[1 m 1]M

P

+

M

m2 P

N

Q

L

∂m∂n O

[vm (x), vn† (y)]

m

= (| κ|2 m| λ|2 )Mηmn

−

P

+

(x − y).

m2

M

P

N

Q

Для обращения в нуль обоих выражений при пространственноподобных x − y необходимо и достаточно, чтобы частицы со спином единица были бозонами, и |κ| = |λ|. Подходящим выбором фазы одночастич- ных состояний можно добиться, чтобы κ è λ имели одинаковую фазу, так что κ = λ, а затем устранить общий множитель κ,

переопределив общую нормировку поля. В результате причинное векторное поле массивной частицы со спином единица имеет вид:

vμ (x) = ϕ+μ (x) + ϕ+μ† (x).

(5.3.31)

Заметим, что поле действительно:

vμ (x) = vμ† (x).

(5.3.32)

Однако если частицы, которые описываются этим полем, обладают ненулевым значением какого-то сохраняющегося квантового числа Q, то невозможно построить из такого поля сохраняющее Q взаимодействие. Следует предположить, что существует другой бозон той же массы и спина, обладающий противоположным значением Q, и построить причинное поле как

vμ (x) = ϕ+μ (x) + ϕ+cμ† (x) ,

(5.3.33)

или, подробнее,

vm (x) = (2π)

-3/2

ås

X

d3p

Y

2p0

Z

(5.3.34)

× [em (p, σ)a(p, σ)eip×x + em* (p, σ)ac† (p, σ)e-ip×x ],

5.3. Причинные векторные поля

281

где верхний индекс «с» отмечает операторы, рождающие античастицу, которая зарядово сопряжена к частице, уничтожаемой полем ϕ+μ(x). Полученное поле причинно, но более не действительно.

Эта же формула применима и в случае полностью нейтральной частицы со спином единица, совпадающей со своей античастицей, если положить ac(p) = a(p). В любом случае коммутатор векторного поля и сопряженного ему поля равен

vμ

(x), vν† (y)

L

ημν −

∂μ ∂ν O

= M

m2

P

N

Q

(x − y),

(5.3.35)

ãäå (x − y) — функция (5.2.13).

Построенные нами для массивной частицы со спином единица действительные и комплексные поля удовлетворяют интересным полевым уравнениям. Во-первых, так как pμ в экспоненте в формуле (5.3.26) удовлетворяет условию p2 = −m2, поле удовле-

творяет такому же, как и для скалярного поля, уравнению Клей- на–Гордона

(9 − m2 )vμ (x) = 0,

(5.3.36)

Кроме того, поскольку из (5.3.24) следует, что

eμ (p, σ)pμ = 0,

(5.3.37)

имеем еще одно уравнение:

∂μvμ (x) = 0.

(5.3.38)

В пределе малой массы уравнения (5.3.36) и (5.3.38) превращаются в уравнения электродинамики для 4-вектора потенциала в так называемой калибровке Лоренца.

Однако никакая теория массивных частиц со спином единица при устремлении массы к нулю не превращается в электродинамику. Причину этого можно увидеть, рассмотрев вероятность образования частицы со спином единица за счет взаимодействия с плотностью гамильтониана H = Jμvμ, ãäå Jμ — произвольный 4-вектор тока.

Возводя матричный элемент в квадрат и суммируя по проекциям

282

Глава 5. Квантовые поля и античастицы

спина частицы на ось z, получаем, что вероятность пропорциональна величине

å| < Jμ > eμ (p, σ)* |2 = < Jμ >< Jν >* Πμν (p),

σ

где p — импульс испускаемой частицы со спином единица, а <Jμ> —

матричный элемент тока (взятый, скажем, при x = 0) между начальным и конечным состояниями всех других частиц. Слагаемое pμpν/m2 â Πμν(p) приводит в общем случае к бесконечному возрастанию вероятности процесса при m → 0. Единственный способ предот-

вратить катастрофу — предположить обращение в нуль произведения <Jμ>pμ. В координатном пространстве это сводится к сохранению тока Jμ в том смысле, что ∂μJμ = 0. На самом деле, необходимость

сохранения тока можно увидеть после простого подсчета числа состояний. У массивной частицы со спином единица имеется три спиновых состояния, которые можно считать состояниями со спиральностью +1, 0 и −1. В то же время любая безмассовая частица со

спином единица типа фотона может иметь только две спиральности +1 и −1. Условие сохранения тока как раз и гарантирует, что в

пределе нулевой массы частицы со спином 1 в состояниях с нулевой спиральностью не будут излучаться.

Преобразования инверсий можно рассмотреть во многом аналогично случаю скалярного поля. Чтобы вычислить результат действия преобразования пространственной инверсии, нужна формула

μ

−

p,s). Используя равенство

Lμ

ν (−p) = P μ

νLρτ (p)P

τ ν

и формулу

äëÿ e (

(5.3.24),

находим

eμ (−p, σ) = −P μ νeν (p, σ) .

(5.3.39)

Далее, чтобы вычислить результат действия операции обращения времени, нужна формула для (−1)1+ σ eμ* (−p,−σ). Используя равенство eμ*(–σ) = –eμ(σ) и предыдущую формулу для Λμν(–p), получаем

(−1)1+ σ eμ* (−p,−σ) = P μ νeν (p, σ) .

(5.3.40)

С помощью этих формул и свойств преобразования операторов уничтожения и рождения, выписанных в разделе 4.2, можно непосредственными вычислениями найти законы преобразования полей

5.4. Дираковский формализм

283

уничтожения и рождения под действием преобразований инверсии. Мы вновь обнаруживаем, что для того, чтобы причинные поля преобразовывались бы в другие поля, с которыми они коммутируют на пространственноподобных расстояниях, необходимо, чтобы внутренние фазовые множители, отвечающие пространственной инверсии, зарядовому сопряжению и обращению времени для частиц со спином единица и их античастиц, были связаны соотношениями:

ηc = η* ,

(5.3.41)

ξc

= ξ* ,

(5.3.42)

ζc

= ζ* .

(5.3.43)

(В частности, в случае, когда частицы со спином 1 совпадает со своей античастицей, все фазы должны быть действительны.) С учетом этих условий на фазы находим, что причинное векторное поле (5.3.34) обладает следующими трансформационными свойствами относительно инверсий:

Pvμ (x)P−1 = −η* P μ νvν (Px),

(5.3.44)

Cvμ (x)C−1 = ξ*vμ† (x),

(5.3.45)

Tvμ (x)T−1 = ζ* P μ νvν (−Px).

(5.3.46)

В частности, знак «минус» в (5.3.44) означает, что векторное поле, преобразующееся как полярный вектор без дополнительных фаз или знаков, связанных с матрицей P μν, описывает частицу со спином 1 и внутренней четностью η = –1.

5.4. Дираковский формализм

Среди всех представлений однородной группы Лоренца существует одно, играющее особую роль в физике. Как мы видели

âразделе 1.1, это представление было впервые рассмотрено Дираком

âтеории электрона 3. Но, как часто случается, оно было уже известно математикам 4, так как при любом числе измерений это

Смотрите также файлы