Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7057

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5.4. Дираковский формализм

289

(Здесь εijk — полностью антисимметричный тензор в трех измерениях, причем ε123 ≡ +1.) Заметим, что они блочно-диагональны,

так что матрицы Дирака реализуют приводимое представление собственной ортохронной группы Лоренца, являющееся прямой суммой двух неприводимых представлений с J ij = ±εijkJ k0.

Удобно записать полностью антисимметричные тензоры (5.4.11) и (5.4.12) в несколько более простом виде. Матрица (5.4.12) полностью антисимметрична, следовательно, пропорциональна псевдотензору ερστη, определенному как полностью антисимметричная величина с ε0123 = +1. Полагая индексы ρ, σ, τ, η последо-

вательно равными 0, 1, 2, 3, видим, что

P ρστη = 4 ! iερστηγ

5

,

(5.4.21)

ãäå

γ 5 ≡ −iγ 0γ 1γ 2γ 3 .

(5.4.22)

Матрица γ5 является псевдоскаляром в том смысле, что

[ J ρσ , γ 5 ] = 0,

(5.4.23)

βγ

5

β−1

= −γ

5

.

(5.4.24)

Аналогично, А ρστ должна быть пропорциональна тензору ερστη, свернутому с некоторой матрицей А η. Полагая индексы ρ, σ, τ по очереди

равными 0, 1, 2, или 0, 1, 3, или 0, 2, 3, или 1, 2, 3, находим:

À ρστ = 3! iερστηγ 5γ η .

(5.4.25)

Шестнадцать независимых 4 × 4 матриц могут быть поэтому выбраны как компоненты скаляра 1, вектора γρ, антисимметричного тензора J ρσ, «аксиального» вектора γ5γη и псевдоскаляра γ5. Легко видеть, что квадрат матрицы γ5 равен единице:

γ 52 = 1,

(5.4.26)

а сама эта матрица антикоммутирует со всеми γμ:

{γ 5 , γ μ } = 0.

(5.4.27)

290

Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Обозначение γ5 особенно удобно, т. к. соотношения антикоммутации (5.4.26) и (5.4.27) вместе с формулой (5.4.5) показывают, что γ0, γ1, γ2, γ3, γ5 реализуют алгебру Клиффорда в пяти пространственно– временных измерениях. В конкретном 4 × 4 представлении γ- матриц (5.4.17) матрица γ5 имеет вид

γ 5

F 1

0 I

= G

J .

(5.4.28)

H

0

−1K

Удобство такого представления состоит в том, что в нем J ρσ è γ5

имеют блочно–диагональный вид. Мы увидим далее, что это свойство окажется особенно полезным при рассмотрении частиц в ультрарелятивистском пределе, когда v → c. (Однако, это пред-

ставление не совпадает с тем, которое описано в разделе 1.1 и которое ввел Дирак, поскольку он интересовался, главным образом, поведением атомных электронов, для которых v n c. В этом случае удобнее использовать представление, в котором диагональна не матрица γ5, а матрица γ0.)

Построенное здесь представление однородной группы Лоренца не унитарно, т. к. не все генераторы J ρσ являются эрмитовыми

матрицами. В частности, в представлении (5.4.17) матрицы J ij эрмитовы, но J i0 антиэрмитовы. Условия действительности удобно записать в явно лоренц–инвариантной форме, введя матрицу β ≡ iγ0

(5.4.13), которая в представлении (5.4.17) принимает вид

F0

1I

β = G

J .

H

1

0K

Из (5.4.17) следует, что

βγ μ†β = −γ μ ,

откуда

βJ ρσ†β = J ρσ .

(5.4.29)

(5.4.30)

(5.4.31)

Следовательно, хотя матрицы D(Λ) не унитарны, они удовлетворя-

ют соотношению псевдоунитарности:

βD(Λ)† β = D(Λ)−1 .

(5.4.32)

5.4. Дираковский формализм

291

Далее, γ5 эрмитова и антикоммутирует с β, òàê ÷òî

βγ 5†β = −γ 5 ,

(5.4.33)

откуда следует, что

β(γ 5γ μ )† β = −γ 5γ μ .

(5.4.34)

Матрицы Дирака и связанные с ними матрицы обладают рядом важных свойств симметрии. Из формул (5.4.17) и (5.4.18) вытекает, что γμ симметричны при μ = 0, 2 и антисимметричны при μ = 1, 3,

òàê ÷òî

γ Tμ = −Cγ μC −1,

(5.4.35)

где Т означает транспонирование, и

F σ2

0 I

(5.4.36)

C ≡ γ 2β = −iG

J .

H 0

σ2 K

Отсюда сразу же следует, что

JμνT

= −C JμνC −1,

(5.4.37)

γ T

= +Cγ

5

C −1

,

(5.4.38)

5

(γ 5γ μ )T = +Cγ 5γ μC −1 .

(5.4.39)

Полученные знаки окажутся важными, когда мы в следующем разделе будем рассматривать свойства разных токов по отношению к зарядовому сопряжению. Конечно, можно объединить полученные результаты для сопряжения и транспонирования, и получить правила комплексного сопряжения дираковских и связанных с ними матриц:

γ *μ

= βCγ μC −1β,

(5.4.40)

Jμν*

= −βC JμνC −1β,

(5.4.41)

292

Глава 5. Квантовые поля и античастицы

γ 5* = −βCγ 5C −1β,

(5.4.42)

(γ 5γ m )* = −βCγ 5γ mC −1β.

(5.4.43)

5.5. Причинные дираковские поля

Мы хотим теперь построить поля уничтожения и рождения частиц, преобразующиеся по обсуждавшемуся в предыдущем разделе дираковскому представлению группы Лоренца. Эти поля имеют общий вид, задаваемый формулами (5.1.17) и (5.1.18):

ψl+ (x) = (2π)-3/2 å z d3p ul (p, σ)eip×xa(p, σ),

(5.5.1)

s

ψl-c (x) = (2π)-3/2 å z d3p vl (p, σ)e-ip×xac† (p, σ).

(5.5.2)

s

(метка сорта частиц опущена). Чтобы вычислить входящие в эти формулы коэффициентные функции ul(p,σ) è vl(p,σ), необходимо

сначала использовать (5.1.25) и (5.1.26) и найти ul è vl для нулевого импульса, а затем с помощью (5.1.21) и (5.1.22) вычислить их для произвольных импульсов. В обоих случаях Dll (Λ) следует брать как 4 × 4 дираковское представление однородной группы Лоренца.

С помощью (5.4.19) условия при нулевом импульсе (5.1.25) и (5.1.26) принимают вид *

å u

± (0, σ)J(sjs)

= å

1

σ

mmum± (0, σ),

m

2

s

m

* Мы опустили индекс сорта частиц n и заменили 4-компонентный индекс l на пару индексов: принимающий два значения индекс m, нумерующий строки и столбцы подматриц в (5.4.19) и (5.4.20), и второй индекс, принимающий значения ± и отмечающий строки и столбцы суперматрицы в (5.4.19)

è (5.4.20).

Смотрите также файлы