3. Устойчивость линейных систем

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в прежнее состояние равновесия после вывода ее из этого состояния и прекращения этого действия в системе.

На рисунке 7.1 приведены примеры типовых переходных процессов в устойчивой системе.

Рисунок 7.1 – Переходные процессы в устойчивой системе

На рисунке 7.2 приведены примеры типовых переходных процессов в неустойчивой системе.

Рисунок 7.2 – Переходные процессы в неустойчивой системе

1. Условия асимптотической устойчивости системы

Пусть для исходной системы найдена передаточная функция в замкнутом состоянии.

(7.1)

где =const , j=, =const, , i=

На основе (7.1) можно записать операторное уравнение

(7.2)

Используя свойства преобразования Лапласа можно записать линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.

(7.3)

Решение дифференциального уравнения (7.2) может быть представлено в виде:

(7.4)

где – вынужденная (полезная) составляющая, определяется правой частью уравнения (7.2),

– свободная (переходная) составляющая, определяется решением однородного дифференциального уравнения, т.е. с правой частью.

Вид переходного процесса в исследованной системе определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы, т.е. или:

(7.5)

Система асимптотически устойчива, если выполняется условие

(7.6)

Для доказательства можно рассмотреть два случая:

1) Пусть характеристическое уравнение (7.5) имеет действительные не кратные корни:

Из математики известно, что:

(7.7)

Следовательно:

Пусть:

(7.8)

При выполнении условия (7.8) система асимптотически устойчива (см. рисунок 7.3).

Рисунок 7.3 – Асимптотически устойчивые системы

Пусть характеристическое уравнение (7.5) имеет s действительных корней и n-s корней комплексно-сопряженных:

причем, n-s всегда четно.

Тогда можно записать:

(7.9)

Формула (7.9) выполняется при условии:

(7.10)

Пусть рассматривается система четвертого порядка (n=4) и пусть характеристическое уравнение имеет следующие корни:

Тогда с учетом (7.10) расположение корней на комплексной плоскости имеет вид представленный на рисунке 7.4

Рисунок 7.4 – Расположение корней на комплексной плоскости

Таким образом, на основе (7.10) можно сделать вывод: линейная система асимптотически устойчива если все корни асимптотические уравнения располагается в левой полуплоскости, комплексной плоскости корней. Если хотя бы один действительный корень или пара комплексно-сопряженных корней располагаются на мнимой оси, то такая система находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то в соответствии с (7.9) и (7.10), система является неустойчивой.

2. Необходимые условия устойчивости системы

Пусть для структурной схемы рассматриваемой системы найдена передаточная функция в замкнутом состоянии:

---

(7.11)

(7.12)

Характеристическое уравнение:

или

(7.13)

Пусть характерное уравнение (7.13) имеет корни

Из математики известно, что характерный полином (7.12) можно разложить на множители:

(7.14)

Пусть характерное уравнение (7.13) имеет действительные отрицательные корни:

(7.15)

Тогда (7.14) с учетом (7.15) можно записать в виде:

(7.16)

Поскольку все сомножители в формуле (7.16) являются положительными, следовательно, и коэффициенты характеристического уравнения (7.13) также являются положительными.

Утверждение 2: Необходимым условием устойчивости является положительность корней всех коэффициентов характеристического уравнения.

Пусть уравнение (2.13) имеет два комплексных корня и n-2 действительных корня:

(7.17)

(7.18)

На основе (7.17) и (7.18) можно записать:

(7.19)

Таким образом, и в данном случае коэффициенты характеристического уравнения так же оказываются положительным, что и требовалось доказать.

Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения не являются положительным, то в соответствии с доказанным утверждением вторая рассматриваемая система не является устойчивой.

3. Критерий устойчивости линейных систем

Находить корни характеристического уравнения высоких степеней затруднительно или невозможно, а численные методы надают общего решения, поэтому используют косвенные методы анализа устойчивости систем.

Критерием устойчивости называют правила позволяющие сделать вывод об устойчивости системы, без определения корней характеристического уравнения.

Критерии устойчивости как косвенные методы делятся на две группы:

• алгебраические критерии устойчивости,

• частотные критерии устойчивости.

1. Алгебраический критерий Гурвица (1895 г.)

Пусть найдено характеристическое уравнение (7.5).

Из коэффициентов (7.5) состоится главный определитель Гурвица n-го порядка.

Система устойчива, если при An>0 все определители Гурвица являются положительными.

(7.20)

Этапы анализа устойчивости по критерию Гурвица:

1. Если дана структурная схема исходной системы, то после соответствующих структурных преобразований можно найти Wз(p)- передаточная функция системы в замкнутом состоянии.

2. Приравнивая Wз к 0 записывают характеристическое уравнение системы.

3. После обозначения коэффициентов характеристического уравнения составляется главный определитель Гурвица .

4. Если условие (7.20) выполняется, то такая система является устойчивой.

5. Если все определители Гурвица положительны, а , то такая система находится на границе устойчивости.

Приведем два случая:

1. При и в системе появляется нулевой корень (p=0), что соответствует апериодичной границе устойчивости.

2. При , - соответствует колебательной границе устойчивости.

При использовании критерия Гурвица передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

---

1. Пусть исходная система представляется пропорциональным инерционным звеном первого порядка вида:

Система устойчива, если:

2. Пусть исходная система - пропорциональное звено второго порядка с ПФ.

где

Характеристическое уравнение имеет вид:

Система устойчива, если:

Т.е. , то и должно быть

Окончательно можно записать:

Таким образом, для систем первого и второго порядков положительность коэффициентов ХУ – необходимое и достаточное условие устойчивости.

3. Дана система 3-го порядка с ПФ в ЗС вида:

Характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии имеет вид:

Главный определитель Гурвица:

Система устойчива, если:

Поскольку , то .

Окончательно можно записать

Таким образом, для устойчивости системы третьего порядка в дополнение к необходимым условиям устойчивости (положительность коэффициентов характеристического уравнения) должно быть и .

4. Дана схема вида (см. рисунок 7.4):

Рисунок 7.4 – Структурная схема системы

Все параметры звеньев системы являются положительными.

(7.21)

где – передаточный коэффициент разомкнутой системы.

Характеристическое уравнение системы в замкнутом состояние:

(7.22)

Пусть требуется найти расчетную формулу граничного значения передаточного коэффициента разомкнутой системы.

Главный определитель Гурвица при n=3:

(7.23)

,

В соответствии с критерием Гурвица система находится на границе устойчивости при условии:

Формула для расчета:

(7.24)

Пусть , а , следовательно, можно записать:

(7.25)

Таким образом, зависит от соотношения между постоянными времени.

2. Частный критерий Михайлова

Доказательство критерия основывается на принципе аргумента.

Пусть найдена передаточная функция системы в замкнутом состоянии:

(7.26)

Пусть характеристическое уравнение выглядит следующим образом:

(7.27)

(7.28)

Тогда характерный полином замкнутой системы может представить в виде:

(7.29)

Требуется определить условия, при которых все корни уравнения (7.27) при которых уравнение (2.27) располагается в левой плоскости комплексной плоскости корней.

При можно записать характеристический вектор в виде:

(7.30)

где ,

.

Пусть характеристическое уравнение (7.27) имеет действительные отрицательные корни.

1) . (7.31)

Условия (7.31) соответствует устойчивой системе. Рассмотрим элементарный вектор (см. рисунок 7.5):

Рисунок 7.5 – Элементарный вектор устойчивой системы

При изменении частоты от 0 до , элементарный вектор повернется против часовой стрелки, то есть в положительном направлении на угол = , что соответствует первому квадранту.

Тогда окончательно можно записать:

(7.32)

2) Пусть характеристическое уравнение (7.27) содержит два комплексно-сопряженных корня, а остальные корни действительные и отрицательные (см. рисунок 7.6).

---

Рисунок 7.6 – Корни уравнения (7.27)

Рассмотрим два вектора. Таким образом, окончательно можно записать:

(7.33)

Годографом Михайлова называется геометрическое место конца вектора , при изменении частоты от 0 до .

Критерий Михайлова.

Система управления n-го порядка устойчива, если годограф Михайлова пройдет последовательно против часовой стрелки n квадрантов, начинаясь на вещественной положительной полуоси.

Если система удовлетворяет критерию, то она является устойчивой, что соответствует расположению корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Если хотя бы 1-н корень не находится в левой полуплоскости, то критерий устойчивости Михайлова выполнятся не будет и такая система не является устойчивой.

На рисунке 7.7 приведены примеры годографа Михайлова устойчивых систем.

Рисунок 7.7 – Годографы Михайлова устойчивых систем

3. Частотный критерий Найквиста (1932 г.)

Критерий является наиболее распространенным при анализе устойчивости систем. Критерия Найквиста позволяет сделать вывод об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы. Исходная система управления должна быть приведена к одноконтурной структурной схеме вида (см. рисунок 7.8):

Рисунок 7.8 – Одноконтурная структурная схема системы

Пусть дана передаточная функция разомкнутой системы:

(7.34)

где mn;

Тогда передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

(7.35)

Доказательство критерия основывается на анализе вспомогательной функции:

(7.36)

Характеристический полином разомкнутой системы:

(7.37)

(7.38)

Пусть корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют вид:

(7.39)

Пусть корни характеристического уравнения замкнутой системы:

(7.40)

Разложив полином числитель и знаменателя на многочлены (7.36) можно записать:

(7.41)

При на основе (7.41) можно получить вектор вида:

,

где (7.42)

Пусть система в разомкнутом состоянии является устойчивой, т.е. в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Пусть система в замкнутом состоянии имеет n-s корней в левой и s корней в правой полуплоскости, тогда в соответствии с принципом аргумента можно записать:

(7.43)

Поскольку замкнутая система должна быть устойчивой то, s=0 и, следовательно:

(7.44)

На рисунке 7.9 приведена при изменении частоты от 0 до .

Рисунок 7.9 –График при изменении частоты от 0 до

Условие (7.44) справедливо, если годограф этого вспомогательного вектора при изменении частоты от 0 до не охватывает начало коэффициент.

Поскольку в теории управления принято судить об устойчивости замкнутой системы по характеристикам разомкнутой, то на основе (7.44) можно записать:

(7.45)

Формулу (7.45) можно записать следующим образом:

(7.46)

На рисунке 7.10 приведена АФЧХ разомкнутой системы

---

Рисунок 7.10 – АФЧХ разомкнутой системы

Формулировка критерия: если система в разомкнутом состоянии является устойчивой, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно чтобы годограф АФЧХ РС при изменении частоты от 0 до не охватывал особую точку с координатами .

4. Понятие статических и астатических систем

1. Статические системы

Пусть система приведена к одноконтурной системе путем структурных преобразований вида (см. рисунок 7.11):

Рисунок 7.11 –Одноконтурная структурная схема системы

Если одноконтурная структурная схема не содержит интегрирующего звена, то ее называют статической.

Пусть схема состоит из n пропорциональных инерционных звеньев 1-го порядка, тогда можно записать:

(7.47)

Рассмотрим частотную передаточную функцию вида:

(7.48)

где

(7.49)

(7.50)

Следовательно, годограф АФЧХ, при , начинается на вещественной положительной полуоси (см. рисунок 7.12).

Пусть n=3

Рисунок 7.12 –Примеры АФЧХ разомкнутых систем

2. Астатические системы

Если одноконтурная структурная схема содержит одно интегрирующее звено, то ее называют асимптотической системой первого порядка.

Пусть одноконтурная структурная схема содержит одно интегрирующее звено и n-1 пропорциональное инерционное звено первого порядка. Тогда на основе (7.49) можно записать:

(7.51)

(7.52)

Примеры годографа АФЧХ астатической системы первого порядка (см. рисунок 7.13).

Рисунок 7.13 –Годограф АФЧХ астатической системы первого порядка

5. Понятие устойчивости по модулю и фазе

Пусть рассматривается статическая система третьего порядка, тогда на рисунке 7.14 можно привести АФЧХ системы.

Рисунок 7.14 – АФЧХ системы третьего порядка

Наличие особой точки с координатами приводит к необходимости рассмотрения окружности единичного радиуса и соответствующих показателей.

1) Запас устойчивости по модулю

Пусть , следовательно рассматриваемый вектор система тем дальше находится от границы устойчивости, чем меньше .

Коэффициент запаса устойчивости по модулю рассчитывается по формуле:

(7.53)

где показывает, во сколько раз можно увеличить , чтобы устойчивую систему вывести на границу устойчивости.

Пусть , следовательно .

Как правило .

Запас устойчивости по модулю можно рассчитывать в децибелах.

(7.54)

3. Запас устойчивости по фазе.

4. Пусть .

5. Если , то , следовательно, такие сигналы передаются в системе от входа на выходе с затуханием на амплитуде и говорят, что они “срезаются” по амплитуде.

Запас устойчивости по фазе вычисляется по формуле:

(7.55)

Если , то такая система является устойчивой.

Если система неустойчива, то .

6. Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых систем

Дана структурная схема системы (см. рисунок 7.15):

Рисунок 7.15 –Структурная схема системы

---

Смотрите также файлы

• РГР ОТУ 2016.doc

• ОТУ 2016-09-01 Лекция 1.pdf

• ОТУ 2016-09-01 Лекция 2.pdf

• ОТУ 2016-09-08 Лекция 3.pdf

• ОТУ 2016-09-15 Лекция 4.pdf