Файл: Бунтова ЛЕКЦИИ ИНЖЕНЕРЫ 19.docx

где функции определены в некотороймерной области переменныхназываетсянормальной системой дифференциальных уравнений первого порядкас неизвестными функциями

Число уравнений, входящих в систему, называется порядком нормальной системы. Решением нормальной системы в интервале называется совокупность функций

непрерывно дифференцируемых в интервале и обращающих вместе со своими производными каждое уравнение нормальной системы в тождество.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющее начальным условиямгдезаданные числа,

Теорема Коши о существовании и единственности решение задачи. Если функции непрерывны в окрестности точкии имеют непрерывные частные производныето всегда найдется некоторый интеграл с центромв котором существует единственное решение нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Общим решением нормальной системы называется совокупность функций

зависящих от произвольных постоянныхи удовлетворяющих следующим условиям:

функции определены в некоторой области изменения переменных и имеют непрерывные частные производные
совокупность является решением нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка при любых значениях
для любых начальных условий из области где выполняются условия теоремы Коши, всегда найдутся такие значения произвольных постоянныхчто будут справедливы равенства

Частным решением нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка называется решение, полученное из общего при некоторых частных значениях произвольных постоянных.

Одним из методов решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка является сведение ее к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений высших порядков – метод исключения.

35.2. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Все сказанное выше верно и для частного случая нормальной системы дифференциальных уравнений, которая имеет вид

где функции предполагаются непрерывными в некотором интервалеЕсли всето рассматриваемая система называется однородной, в противном случае неоднородной. Еслито рассматриваемая системаназывается линейной с постоянными коэффициентами. Существуют методы, позволяющие проинтегрировать такую систему. Рассмотрим два из них.

Первый метод. Составляем характеристическое уравнение

где Раскрывая определитель, приходим к алгебраическому уравнению степениотносительнос действительными постоянными коэффициентами, которое имееткорней.

Если корни характеристического уравнения действительные и различные то каждому корню соответствует частное решение вида

где коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Все частные решения вида

образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, получаемой из системы

при представляет собой следующую совокупность функций, являющихся линейной комбинацией решений

где произвольные постоянные.

Рассмотрим пример. Найти общее решение однородной системы

Характеристическое уравнение данной системы

имеет различные действительные корни Для каждого из них составляем систему

Так как определители этих систем равны нулю, то каждая из них имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать те решения, для которых Тогда получим следующие решения систем: еслито

если то

Это приводит к фундаментальной системе решений

Линейная комбинация этих решений с учетом совокупности функций

дает общее решение исходной системы

Второй случай. Корни характеристического уравнения

различные, но среди них имеются комплексные. Известно, что в этом случае каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения соответствует пара частных решений

где Коэффициентыопределяются из системы

соответственно для иКоэффициентыоказываются, как правило, комплексными числами, а соответствующие им функциикомплексными функциями. Выделяя мнимую и действительную части функцийи пользуясь тем, что для линейных уравнений с действительными коэффициентами и мнимая, и действительная части решения также являются решениями, получаем пару частных действительных решений однородной системы.

Рассмотрим пример. Найти общее решение системы

Характеристическое уравнение системы

имеет корни Получаем

Корню соответствует система для вычисления

Согласно формуле получаем частное решение

Взяв в отдельности действительные и мнимые части в решении, получим два решения в действительной форме, образующих фундаментальную систему решений системы

Тогда общее решение системы имеет вид

Третий случай. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. В этом случае поступаем следующим образом. Пустькорень кратностихарактеристического уравнения. Тогда решение системы, для которойсоответствующее этомукратному корню, ищем в виде