Файл: Бунтова ЛЕКЦИИ ИНЖЕНЕРЫ 19.docx

Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события

- это есть формула полной вероятности.

Рассмотрим пример. Электролампы изготавливают на трех заводах. Первый завод производит 35% общего количества электроламп, второй – 50% и третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80% и третьего – 90%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа является стандартной?

Примем за событие – лампа, купленная в магазине стандартная; – купленная лампа с первого завода;- купленная лампа со второго завода;- купленная лампа с третьего завода.

Тогда можно записать

Воспользуемся формулой полной вероятности

Рассмотрим еще один пример. В первой коробке содержится 20 деталей, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Примем за событие – из первой коробки извлечена стандартная деталь; – из второй коробки извлечена стандартная деталь;– из второй коробки извлечена нестандартная деталь. Тогда

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была положена стандартная деталь

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была положена нестандартная деталь

Тогда

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу (гипотезы).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие . Определим, как изменились (в связи с тем, что событие уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

– это есть формулы Байеса, которые позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Рассмотрим пример. С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, а со второго – 20%. На первом автомате брак составляет 1%, а на втором – 5%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Что вероятнее: проверенная деталь изготовлена на первом автомате или на втором?

Примем за событие – проверенная деталь бракованная; проверенная деталь с первого автомата;– проверенная деталь со второго автомата. Таким образом,

Таким образом, вероятнее, что деталь изготовлена на втором заводе.

Контрольные вопросы

1. Дать определение случайного события. Почему события представляются нам случайными?

2. Какие события называются достоверными, равновозможными, совместными, независимыми?

3. Дать классическое определение вероятности.

4. В чем принципиальное отличие понятия вероятности события и относительной частоты появления события?

5. Сформулировать теорему сложения вероятностей для несовместных, совместных событий.

6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.

7. Что Вы понимаете под условной вероятностью события?

Лекция №45. Повторные независимые испытания

45.1. Формула Бернулли.

45.2. Наивероятнейшее число наступлений событий.

45.3. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа.

45.4. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых событий.

Асимптотическая формула Пуассона.

45.1. Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события . Рассмотрим независимые испытания, в котором событие имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же, а именно – . Следовательно, вероятность не наступления события равна .

Перед нами будет стоять задача найти вероятность того, что при n испытаниях событие осуществится раз, следовательно, не осуществится раз. Не требуется, чтобы событие повторилось ровно раз в определенной последовательности. Искомую вероятность обозначим

Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие наступит m раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из элементов по элементов, т.е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то

– это есть формула Бернулли.

Рассмотрим пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение суток равна , следовательно

Тогда, используя формулу Бернулли, можно найти искомую вероятность

45.2. Наивероятнейшее число наступлений событий

Есть такие значения m, которые обладают наибольшей вероятностью. Для нахождения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство

Необходимо заметить, что так как

то всегда существует целое число , удовлетворяющее неравенству. При этом, если- целое число, то наивероятнейших чисел два

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например,

45.3. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа

Локальная теорема Лапласа дает формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема Лапласа: если вероятность p появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля, то вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно раз, приближенно равна