ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
Мехатроника
Задание:
1.Найти разностные уравнения и Z-прелбразования по указанной ниже передаточной функции двумя способами: классическим и с помощью билинейных праобразований (используя Matlab).
2. Построить переходные и частотные характеристики: по предложенной передаточной функции и преобразованным Z- фкнкциям в двух вариантах.
3 Исходная передаточная
функция
Варианты заданий
|
№ вар |
Фамилия |
а0 |
а1 |
а2 |
|
1 |
|
1.3 |
0.06 |
0.01 |
|
2 |
|
1.35 |
0.065 |
0.015 |
|
3 |
|
1.4 |
0.07 |
0.018 |
|
4 |
|
1.45 |
0.075 |
0.02 |
|
5 |
|
.1.5 |
0.08 |
0.024 |
|
6 |
|
1.55 |
0.085 |
0.028 |
|
7 |
|
1.6 |
0.09 |
0.03 |
|
8 |
|
1.66 |
0.095 |
0.033 |
|
9 |
|
1.7 |
0.1 |
0.04 |
|
10 |
|
1.77 |
0.12 |
0.045 |
Теория и методические указания
В настоящее время цифровые САУ получили широкое распространение в различных отраслях промышленности. Эти системы, как правило, снабжены встроенными управляющими микро-ЭВМ или микропроцессорами. Работа цифровой САУ осуществляется под управление рабочей программы содержащейся в памяти ЭВМ, или вводимой извне. Достоинством цифровых САУ является высокая точность работы, малые габариты управляющей части, возможность оперативно менять алгоритм работы САУ за счет изменения управляющей программы.
Цифровые САУ относятся к классу линейных импульсных систем, но имеют свои особенности. Так в импульсных системах информация о входном воздействии определяется в дискретные моменты времени (t = ti(0,1,2…).и модулируется различными способами (амплитудная, фазовая, широтно-импульсная) В цифровых САУ моменты времени равноотстоящие, т.е. ti = iT, где Т- период квантования, а модуляция амплитудная. Наличие и вид информации в промежутках между моментами замера зависит от типа экстраполятора (в ЦВМ это программа, определяющая закон изменения информации между моментами замера информации). Экстраполяторы бывают нулевого, первого и более высокого порядка. Экстраполятор нулевого порядка сохраняет после замера сигнал постоянным до следующего замера. Экстраполятор первого порядка реализует тенденцию изменения сигнала по первой производной и.т.д.
В основе теории импульсных, а следовательно и цифровых систем, лежат разностные уравнения (аналог дифференциальных уравнений) и z- передаточные функции (аналоги передаточным функциям непрерывных систем).
Для импульсных систем существует также понятие уравнения в конечных разностях. Оно может быть получено из линейного дифференциального уравнения путем замены символа дифференцирования d на конечное приращение ∆, а текущего времени t на период квантования T. Например для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка
(1)
уравнение в конечных разностях будет иметь вид:
.
(2)
В связи с тем, что ЦВМ оперирует не разностями, а абсолютными значениями переменных уравнения в конечных разностях непригодно для использования в прикладных программах и его преобразуют в разностные уравнения. Разностное уравнение для нашего примера составляется следующим образом. Пусть в некоторый текущий момент времени t=Tn входная переменная g(t) = g(Tn), а в предыдущий момент съема информации g(t) = g(T(n-1)). Аналогично, если в текущий момент выходная переменная x(t) = x(Tn), то в предыдущий и предпредыдущий моменты значения x(t) соответственно были: x(t) = x(T(n-1)) и x(t) = x(T(n-2)) (рис. 1).
Через эти значения переменных могут быть выражены разности:
.
(3)
После подстановки выражений (3) в (2) и некоторых очевидных преобразований получим:
,
(4)
где:,
,
,
.
В общем виде уравнение линейного дискретного фильтра будет иметь вид:
,
(5)
где N- порядок правой части дифференциального уравнения фильтра, а M – порядок левой части.
Выражение (5) по существу является алгоритмом для вычисления очередной текущей переменной x по значениям текущей входной переменной g, ее предыдущих значений, количество которых равно порядку правой части исходного дифференциального уравнения, а также предыдущих значений выходной переменной x, количество которых равно порядку левой части исходного дифференциального уравнения. Разностное уравнение в форме (3, 5) непосредственно применяется в прикладных управляющих программах цифровых САУ.
Разностные уравнения
в форме (5) можно получить из z
– передаточных функций. Напомним, что
z
– передаточную функцию получают применяя
дискретное преобразование Лапласа к
входной и выходной переменной
рассматриваемого динамического звена,
например
,
или
,
где
,
и беря их отношение.
Для разностного уравнения (5), учитывая, что по теореме смешения
,
а
,
получим:
(6)
Для частного уравнения (7-4) Z – передаточная функция будет иметь вид:
(7).
Как видим коэффициенты с и d в выражениях (5) и (7) имеют одни и те же значения, однако получить непосредственно разностное уравнение высокого порядка (как мы получили для второго порядка) обычно бывает сложно и эти коэффициенты берут из Z – передаточной функции. Последнюю можно получить несколькими различными способами. В инженерной практике Z – передаточную функцию чаще всего получают из обычной передаточной функции с помощью билинейного преобразования [1] путем подстановки:
,
(8) из которой следует, что
(9) .
Таким образом
произведена замене трансцедентного
значения
на линейное выражение (9). Правомерность
такой замены основана на предположении,
что предельная частота входного
воздействия и частота среза САУ намного
меньше частоты квантования ЦВМ ωкв=2π/Т.
Действительно
положив s=jω
имеем
.
При
,
или
получим
,
что в операторной форме соответствует
9.
Из теории импульсных
систем известно, что полоса воспроизводимых
частот лежит в пределах
Применение выражения (8) позволяет при анализе и синтезе дискретных систем использовать аппарат частотных характеристик, разработанный для непрерывных линейных систем.
Пример моделирования
1. Используя процедуру "bileniar" пакета Matlab найдем коэффициенты Z-передаточной функции для корректирующего звена
,
в котором b
= 0.05, a
= 0.7. Для их нахождения откроем окно
редактирования M-файлов
(см приложение стр. …) и внесем в него
программу (а). В этом же окне «шелкнем»
мышкой по кнопке
(RUN). Результат
вычислений (коэффициенты ad
и bd)
появится в командном (первичном) окне
(б).
.2. Из раздела Discrete (дискретные элементы) библиотеки Simulink исподьзуем блок Discrete Filtre, введя в него коэффициенты bd (числитель) и ad (знаменатель) по возрастающим степеням и период квантования Т= 0.005с (рис. 2). Коэффициениы bd и ad соответствуют коэффициентам "d" и "с" в уравнениях (6) и (7).
3. Определим и зафиксируем частотные характеристики непрерывного и аналогичного дискретного фильтров в соответствии с методикой определения ЛАЧХ и ЛФЧХ непрерывных звеньев (рис.3).
4. Сравним характеристики непрерывного и дискретного фильтров и убедимся, что с ростом частоты различие в характеристиках возрастает.
1 Ю.Ф. Опадчий, О.П. Глудкин, А.И. Гуров Аналоговая и цифровая электроника. –М. «Горячая линия-Телеком», 2002.
2 Казмиренко В.Ф. Электрогидравличские мехатронные модули движения. Учебное пособие. -М. Радио и связь, 2001г.
.
3 Подураев, Ю.В. Мехатроника: основы, методы, применение: Учеб. пособие для вузов (УМО) / Ю. В. Подураев. - М. : Маш-ие, 2006. - 256с. : ил.
4 Карнаужов, Н.Ф. Электромеханические и мехатронные системы: Учеб. пособие для вузов (УМО) / Н. Ф. Карнаухов. - Ростов н/Д. : Феникс. 2006. - 320с
5. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. Теория систем автоматического управления: -СПб. Изд-во «Профессия», 2003.- С 190-231