Файл: Mekhanika_1.doc

В данной работе рассматривается классификация экспериментов и погрешностей, а также простейшие методы математической обработки результатов наблюдений.

Физическая величина – характеристика особенности физического объекта или явления, которая отображает его свойство, состояние или происходящий в нем процесс. Физические величины имеют количественное и качественное содержание.

Измерение – экспериментальное определение количественного значения физической величины с помощью специально предназначенных для этого технических средств. Измерение включает в себя наблюдение и математические операции для определения результата измерений.

Измерения подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое измерение – это измерение, при котором искомое значение физической величины является показанием какого-либо прибора, например: длина – на шкале линейки, температура – на термометре, напряжение – на вольтметре и т.п.

Косвенное измерение – это измерение, при котором искомое значение получают вычислением на основании ее зависимостей от величин, измеряемых прямо, т.е. по формулам (ускорение, энергия и т.п.)

Количественно измерения подразделяются на одно- и многократные.

К однократным отнесем измерения, не только проводимые один раз, но и те значения физических величин, которые мы сами задаем в экспериментах, например, высоту, с которой опускаем груз, массу этого груза и т.п.

При многократных измерениях эксперименты повторяются несколько раз при одинаковых исходных состояниях (независимые наблюдения).

1.2. Погрешности физических измерений

В процессе измерений всегда присутствуют погрешности, т.е. отклонения результата наблюдения физической величины х от ее истинного значения х_ист.. Абсолютные погрешности Δх выражаются в единицах измеряемой величины и равны:

Δх = х – х_ист., (1.1)

а относительные – в процентах от значения измеряемой величины

. (1.2)

Погрешности подразделяют на три типа.

Систематическая погрешность при повторении одинаковых наблюдений остается постоянной или изменяется закономерным образом. Если природа и значение ее известны, такая погрешность может быть исключена из конечного результата введением соответствующей поправки (например, учет сдвига нуля шкалы прибора). Главной особенностью систематических погрешностей является возможность их оценки до проведения измерений.

Случайная погрешность проявляется в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений вследствие беспорядочных воздействий весьма большого числа случайных факторов. Очевидно, что оценить величину случайной погрешности до проведения измерений невозможно.

Промах возникает в результате небрежности или ослабления внимания экспериментатора. Промахи легко выявить, поскольку соответствующие результаты заметно отличаются от остальных, например: не в том месте поставлена десятичная запятая при записи числа. Промахи должны быть исключены из ряда наблюдений.

1.3. Оценка величины систематической погрешности

Систематические погрешности являются следствием несовершенства приборов, а также недостатков методики измерения. В связи с этим рассматривают инструментальные погрешности, которые связаны с конструкцией измерительного прибора.

Одна из них своим происхождением имеет точность нанесения делений шкалы. В условиях лабораторного практикума эта погрешность всегда существенно меньше других, и в дальнейшем мы ее учитывать не будем.

Другой тип погрешности связан с принципом действия прибора и выражается в виде приведенной погрешности (класса точности). Классом точности называют относительную погрешность, приведенную к пределу измерений х_пр.:

. (1.3)

Класс точности принимает значения 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Обычно ими характеризуются электроизмерительные приборы. Абсолютная погрешность таких приборов постоянна по всей шкале для выбранного предела измерений, ее можно определить по формуле (1.3).

Очень часто при измерениях возникает необходимость оценки долей наименьшего деления шкалы. В некоторых приборах (штангенциркуль, микрометр) для этой цели предусмотрены специальные дополнительные шкалы, называемые нониусами. На тех приборах, где нониусов нет, в связи с приближенной оценкой доли наименьшего деления возникает погрешность отсчета. Для обычных шкал эту погрешность принимают равной половине цены деления прибора С, т.е. . Например: для линейки с миллиметровыми делениями Δх_отсч.= 0,5 мм, а с сантиметровыми – 0,5 см. Если шкала прибора зеркальная, то погрешность отсчета берут равной С/5. Погрешность микрометра и штангенциркуля указана на этих приборах.

При использовании цифровых приборов за погрешность отсчета принимают единицу младшего разряда. Для лабораторных секундомеров это, как правило, 0,01 или 0,001 с.

Погрешность отсчета берется в качестве систематической ошибки в том случае, если нет других данных о погрешности прибора, например, нет информации о классе точности.

Величина сдвига нуля шкалы обычно определяется в начале наблюдений и сразу проводится коррекция результатов.

Погрешность метода измерений – это самая сложная по своей природе систематическая погрешность. В механике главной причиной таких погрешностей являются силы трения различного вида, в электричестве – это неучитываемые падения напряжений на внутренних сопротивлениях приборов, контактов и подводящих проводов и т.п. Существование этой погрешности выявляется обычно при несовпадении теоретически рассчитанных и измеренных величин с учетом всех других погрешностей. Это происходит, как правило, при достаточно высокой точности измерений.

1.4. Оценка погрешности при прямых однократных измерениях

При этом типе измерений мы будем оценивать только систематическую погрешность, связанную с видом применяемых приборов. Это либо приведенная погрешность, либо погрешность отсчета. Следовательно, необходимо знать либо класс точности прибора, либо цену деления шкалы измерительного прибора.

Погрешность табличных величин, если она не оговорена в справочнике, берется равной 5 единицам в разряде, следующем за млад-шим. Например, если значение g берется равным 9,8 м/с², то Δg=0,05 м/c². Если же взять величину g равной 9,81 м/с², то Δg=0,005 м/с².

К погрешности табличной величины сведется и погрешность измерения массы, т.к. она определена по эталонным грузам (как правило, выгравирована на используемых грузах и перегрузках).

Отметим, что при записи значений измеряемых величин нули справа указывают на точность измерений. Например, такая запись длины L=1,00 м предполагает погрешность ΔL = 0,005 м, а при записи L = 1м, подразумевается ΔL = 0,5 м. Аналогично, запись значений масс в виде m=100 г и m=0,1 кг неэквивалентна с точки зрения точности. Правильная запись m=100 г = 0,100 кг. Еще один пример: если х=1,26∙10³, то погрешность Δх = 0,00510³ = 5, а при записи х=1260 получим погрешность Δх = 0,5, т.е. в десять раз меньше.

1.5. Оценка величины случайной погрешности

Случайные погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно, проявляются в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, могут отклонять результаты измерения от истинного значения в обе стороны. При обработке результатов эксперимента возникают два вопроса: 1) как найти из полученных значений наиболее вероятное значение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая погрешность измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса).

Смысл этого закона заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой есть х_о. Проведя несколько раз измерения, вместо х_о получаем набор значений х₁, х₂, … х_i, … x_n. Оказывается, что с помощью закона распределения мы хотя и не можем указать точное значение х_о, но можем найти, с какой вероятностью Р величина х_о окажется в любом интервале значений а<x_o<b . Область значений а<x_o<b называют доверительным интервалом. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

(1.4)

и равна

. (1.5)

Функция плотности распределения f(x) характеризует число случаев, когда измеряемая величина попала в интервал от x до x+dx (dx- малое изменение измеряемой величины). x – набор значений, которые мы получаем в результате измерения, x – их среднее арифметическое, а среднее квадратичное отклонение

, (1.6)

. (1.7)

Рис. 1.1.

Как видно из рисунка, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины – x и шириной 2σ – расстоянием между точками перегиба. Значение x обычно принимают за ту величину, которую надо было измерить, а σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ, тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение. Площадь под кривой от а до b определяет долю случаев, в которых измеряемая величина лежит в этом интервале (т.е. вероятность того, что измеряемая величина попала в интервал от а до b).

Следует подчеркнуть, что x – не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения в этот интервал. Так, например, вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой x не более чем на σ равна 0,683, а не более чем на 2σ – 0,955.

Бесконечное увеличение числа измерений не дает заметного увеличения точности. Зависимость надежности (вероятности) от числа измерений сложна и не выражается в элементарных функциях. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал S__x_, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую вероятность (надежность) Р.