ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.09.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 0
Отсюда следует, что данное уравнение определяет окружность с центром в точке P0 (1, −3) и радиусом r =4 .
ПРИМЕР 4.5.3. Составить уравнение геометрического места точек плоскости, каждая из которых вдвое ближе к точке А(4, 0), чем к точке В(1, 0).
Решение. Расстояние от текущей точки M(x1, x2 ) |
искомой кривой до точки А(4, 0) |
||||||||
равно r = |
(x −4)2 +(x −0)2 , а расстояние от точки M(x , x ) до точки В(1, 0) равно |
||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
r = |
(x −1)2 +(x −0)2 |
. По условию r = r /2 или |
|
|
|
||||
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x −4)2 |
+(x −0)2 = |
(x −1)2 |
+(x −0)2 |
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим:
(x1 −4)2 +(x2 −0)2 = (x1 −1)2 +(x2 −0)2 . 4
Раскрыв скобки, приведя подобные слагаемые и сократив левую и правую части уравнения на три, получим:
x12 −10x1 +x22 +21 =0 .
Выделив полный квадрат:
(x12 −2x1 5 +25)+x22 = 4 ,
получим уравнение окружности с центром в точке C(5, 0) и радиусом r =2 :
(x1 −5)2 +(x1 −0)2 =22 .
В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и
1. Как можно задать кривую на плоскости?
4.Дайте определение окружности.
За д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1.Составьте уравнение окружности с центром в точке P0 (10, −10) и радиу
сом r =10 . Коснется ли эта окружность осей координат?
2. Составьте уравнение геометрического места точек плоскости, каждая из которых в три раза дальше от точки А(9, 0), чем от точки В(1, 0).
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
О р г а н и з а ц и я в ы п о л н е н и я к о н т р о л ь н ы х з а д а н и й
По дисциплине «Математика» предусмотрено выполнение контрольных заданий. В процессе работы над контрольным заданием студент активно закрепляет и углуб ляет теоретические знания, полученные на лекциях и практических занятиях.
По разделу «Основы линейной алгебры и аналитической геометрии» студент дол жен выполнить 2 задачи. Условия задач приведены далее, а конкретные числовые данные для каждого варианта — в приложениях. Номер варианта числовых данных выбирается по последней цифре номера зачетной книжки студента.
При выполнении контрольного задания следует строго придерживаться указан ных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитыва ются и возвращаются студенту для переработки.
1.Контрольное задание выполняется аккуратно на отдельных листах. Графики либо строятся при помощи компьютера и вклеиваются в работу (рекомендуется использова ние пакета Microsoft Excel), либо вычерчиваются от руки (черными или цветными каран дашами средней твердости на обычной или миллиметровой бумаге). Листы с текстом контрольного задания и графики должны быть сшиты.
2.В работу должны быть включены все требуемые задачи строго по положенно му варианту. Контрольные работы, содержащие задания не своего варианта, не за считываются.
3.Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать ее условие. В том случае, когда формулировка задачи одна для всех вариантов, а различаются лишь исходные данные, необходимо переписывая общее условие задачи, заменять общие дан ные конкретными, соответствующими своему варианту.
4.Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения. Обя зательны наличие титульного листа, оглавления и сквозной нумерации всех листов.
Контрольное задание сдается преподавателю до экзамена для проверки. При ука зании рецензента на требуемую переработку все необходимые дополнения студент прилагает к первоначальному тексту работы, не делая в нем никаких исправлений.
С о д е р ж а н и е к о н т р о л ь н о г о з а д а н и я
1.Матрицы. Для данной матрицы A, приведенной для каждого варианта в прил. 1, требуется: а) вычислить определитель матрицы A; б) вычислить след матрицы A; в) найти (если это возможно) матрицу, обратную к матрице A; г) найти базис и ранг системы векторов — строк матрицы A; д) определить ранг матрицы A; е) найти соб ственные значения матрицы A и соответствующие им собственные векторы.
Указание. См. решения примеров 1.3.1, 1.3.2, 2.2.1, 2.2.2, 3.4.1, 4.3.1.
2.Системы линейных уравнений. Для данной системы линейных уравнений, за данной расширенной матрицей (A | b), и данного вектора y (расширенная матрица (A | b) и вектор y для каждого варианта приведены в прил. 2) требуется: а) проверить, является ли вектор y решением данной системы линейных уравнений; б) найти об щее решение и два различных базисных решения данной системы линейных урав нений; в) найти матрицы AAT, ATA, bbT, bTb, прокомментировать их свойства: вырож денность, симметричность, неотрицательная определенность, положительная опре деленность.
Указание. См. решения примеров 1.2.4, 3.1.1, 3.2.1, 4.4.1.
92
ЛИТЕРАТУРА
1.Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в во просах и задачах: Учебное пособие для вузов. – М.: Физматлит, 2003.
2.Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник для вузов. – М.: Издательство Московского университета, 2002.
3.Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математика: Учебное пособие для вузов. – М.: ИНФРА М, 2002.
4.Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая ма тематика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.
5.Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.
6.Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. – М.: Физматлит, 2002.
7.Малыхин В. И. Математика в экономике: Учебное пособие для вузов. – М.: ИНФРА М, 2001.
8.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. Математи ка в экономике: Учебник для вузов. – М.: Финансы и статистика, 2003.
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МАТРИЦЫ ДЛЯ АНАЛИЗА |
|
|
|
|||
Вариант 1 |
|
Вариант 5 |
Вариант 9 |
|
||||||
0 |
1 0 |
|
|
1 |
−3 4 |
3 |
1 0 |
|||
|
−3 |
|
|
A = |
|
|
|
|
−1 0 |
|
A = |
4 0 |
|
4 |
−7 8 |
A = −4 |
|
||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
6 |
−7 7 |
4 |
−8 −2 |
|||
Вариант 2 |
|
Вариант 6 |
Вариант 10 |
|
||||||
4 |
−5 7 |
|
1 |
−3 3 |
0 |
7 4 |
|
|||
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
A = |
1 |
−4 9 |
|
A = |
−6 13 |
A = 0 |
1 0 |
|
||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−4 |
0 5 |
|
|
−4 8 |
1 13 0 |
|
||||
Вариант 3 |
|
Вариант 7 |
|
|
|
|||||
4 |
−5 2 |
|
5 |
6 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
5 |
−7 3 |
|
A = −1 0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
−9 4 |
|
1 |
2 −1 |
|
|
|
|||
Вариант 4 |
|
Вариант 8 |
|
|
|
|||||
7 |
0 0 |
2 |
−1 2 |
|
|
|
||||
|
|
−19 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 10 |
|
A = |
5 |
−3 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
12 |
−24 13 |
|
0 −2 |
|
|
|
||||
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
1 |
4 |
|
252 |
|
|
|
12 |
2 |
5 |
1 |
4 |
|
126 |
|
|
|
22 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4 |
5 |
1 |
|
144 |
|
, |
|
16 |
|
|
0 |
7 |
2 |
|
84 |
|
, |
|
16 |
|
(A | b) = 2 |
|
|
y = |
30 |
|
(A | b) = 3 |
|
|
y = |
20 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 2 4 3 |
|
80 |
|
24 |
2 1 4 |
0 |
|
75 |
|
24 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
4 |
5 |
|
208 |
|
|
|
12 |
5 |
4 |
6 |
7 |
|
275 |
|
|
|
12 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
5 |
0 |
2 |
|
99 |
|
, |
|
18 |
|
|
0 |
4 |
2 |
|
100 |
|
, |
|
16 |
|
(A | b) = 2 |
|
|
y = |
30 |
|
(A | b) = 2 |
|
|
y = |
30 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
1 |
2 |
5 |
|
181 |
|
|
|
24 |
3 |
2 |
0 |
1 |
|
85 |
|
|
|
24 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
8 |
7 |
|
316 |
|
|
|
12 |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
202 |
|
|
22 |
|||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
5 |
1 |
|
216 |
|
, |
|
16 |
|
|
1 |
0 |
6 |
|
318 |
|
, |
|
16 |
|
(A | b) = 3 |
|
|
y = |
20 |
|
(A | b) = 2 |
|
|
y = |
10 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
6 |
3 |
2 |
|
199 |
|
|
|
24 |
3 |
0 |
5 |
1 |
|
211 |
|
|
|
14 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
4 |
1 |
|
132 |
|
|
|
22 |
1 |
3 |
5 |
1 |
|
266 |
|
|
|
12 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4 |
0 |
6 |
|
124 |
|
, |
|
16 |
|
|
4 |
6 |
0 |
|
326 |
|
, |
|
16 |
|
(A | b) = 3 |
|
|
y = |
30 |
|
(A | b) = 2 |
|
|
y = |
10 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
2 |
5 |
4 |
|
117 |
|
|
|
24 |
3 |
0 |
2 |
4 |
|
110 |
|
|
24 |
|||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
6 |
3 |
|
288 |
|
|
|
22 |
3 |
2 |
1 |
4 |
|
257 |
|
|
|
12 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
2 |
|
240 |
|
, |
|
18 |
|
|
1 |
0 |
5 |
|
215 |
|
, |
|
16 |
|
(A | b) = 7 |
|
|
y = |
30 |
|
(A | b) = 2 |
|
|
y = |
10 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
4 |
5 |
1 |
|
200 |
|
|
|
24 |
6 |
3 |
4 |
0 |
|
210 |
|
|
|
14 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
94
|
О ГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие ....................................................................................................................................................................... |
3 |
|
Введение |
................................................................................................................................................................................. |
4 |
Глава 1. ......................................................................................................................Векторы и матрицы |
9 |
|
§ 1.1. ............................................................................................................................................................... |
Векторы |
9 |
§ 1.2. .......................................................................................................................................................... |
Матрицы |
13 |
§ 1.3. ................................. |
Основные числовые характеристики квадратных матриц |
25 |
Глава 2. ........................................................................................................ |
Линейные пространства |
36 |
§ 2.1. ................................................................................. |
Определение линейного пространства |
36 |
§ 2.2. ................................................................................................... |
Базис и ранг системы векторов |
38 |
§ 2.3. ..................................................... |
Геометрические свойства линейных пространств |
44 |
Глава 3. ........Системы линейных алгебраических уравнений и неравенств |
48 |
|
§ 3.1. ......................... |
Определение системы линейных алгебраических уравнений |
48 |
§ 3.2. |
Исследование и решение системы линейных |
|
.................................... |
алгебраических уравнений методом Жордана — Гаусса |
51 |
§ 3.3. ................................................................................................. |
Поиск неотрицательных решений |
|
................................................................ |
систем линейных алгебраических уравнений |
57 |
§ 3.4. ................................................................................................................................... |
Обратная матрица |
61 |
§ 3.5. ................................................................. |
Прямые, плоскости и линейные неравенства |
65 |
Глава 4. ...............................................Линейные операторы и квадратичные формы |
71 |
|
§ 4.1. ............................................................................................ |
Комплексные числа и многочлены |
71 |
§ 4.2. ........................................................................................................................... |
Линейные операторы |
75 |
§ 4.3. ............................................................ |
Собственные векторы и собственные значения |
79 |
§ 4.4. ...................................................... |
Симметричные матрицы и квадратичные формы |
86 |
§ 4.5. ................................................................................................................... |
Кривые второго порядка |
90 |
Контрольные ............................................................................................................................................задания |
92 |
|
Литература........................................................................................................................................................................ |
93 |
|
Приложени .....................................................................................................................................................................я |
94 |
|