ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.09.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 0
В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и
1.Что такое множество?
2.Можно ли дать определение множества?
3.Что такое пустое множество?
4.Что такое объединение двух множеств?
5.Что такое пересечение двух множеств?
6.Что такое мощность множества?
7.Как изображается и что означает квантор существования?
8.Как изображается и что означает квантор единственности?
9.Что такое условие теоремы?
10.Что такое утверждение теоремы?
11.Что такое обратная теорема?
12.Для всякой ли теоремы справедлива обратная теорема?
13.Какое условие называется необходимым?
14.Какое условие называется достаточным?
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1.Известно, что A B. Найти: а) A B; б) A∩B.
2.Установите, при каких условиях множества A и A∩B являются эквива лентными.
3.Пусть A, B, C — некоторые множества, причем A B. Упростите выра жения: а) A∩B; б) A B; в) A∩B∩C; г) A B C.
8
Глава 1. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
§ 1.1. ВЕКТОРЫ
Совокупность n чисел a1, a2,…, an , заданных в определенном порядке, назы вается n мерным вектором. Числа ai называются компонентами или коор динатами вектора, число n — его размерностью. Обозначают вектор одной жирной строчной латинской буквой:
a =(a1, a2,…, an )
[на доске и в тетради, конечно, жирный шрифт не используется, но чтобы не возникало путаницы, можно над буквами, обозначающими векторы, ставить черточки или стрелочки: a =(a1, a2,…, an ) или a =(a1, a2,…, an ) ].
Например, x =(9, −2, 4, −7, 0, 3) — это шестимерный вектор.
Допустим, что предприятие выпускает n видов продукции, притом предпо лагается изготовить продукцию первого вида в количестве x1 шт., второго ви
да в количестве x2 шт. и т. д. В этом случае п р о и з в о д с т в е н н у ю п р о г р а м м у
(x1, x2,…, xn )
можно рассматривать как n мерный вектор.
Два n мерных вектора a и b называются равными, если все их соответст вующие компоненты равны:
ai =bi , i =1, 2,…, n . Равенство векторов обозначается как
a = b.
Суммой двух n мерных векторов a =(a1, a2,…, an ) и b =(b1, b2,…, bn ) называ ется n мерный вектор
a +b =(a1 +b1, a2 +b2,…, an +bn ) ,
компоненты которого получаются сложением соответствующих компонент данных векторов.
Предположим, например, что производственное объединение состоит из двух мебельных фабрик, которые выпускают столы, стулья, кресла и кровати. Пусть первая фабрика выпускает 1000 столов, 10 000 стульев, 2000 кресел и 500 кроватей в год, а вторая фабрика — 2500 столов, 12 000 стульев, 2000 кре сел и 1000 кроватей в год. Тогда объем годового выпуска первой фабрики представляет собой вектор a =(1000,10 000, 2000, 500) , объем годового выпуска второй фабрики — это вектор b =(2500,12 000, 2000,1000) , при этом объем го дового выпуска всего объединения равен сумме векторов a и b:
9
a +b =(3500, 22 000, 4000,1500) .
Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности:
a +b =b +a |
(1.1.1) |
(a +b) +c =a +(b +c) |
(1.1.2) |
Вектор
0 =(0, 0,…, 0) ,
все компоненты которого равны нулю, называется нуль вектором. Каков бы ни был вектор a, справедливо равенство
a +0 =a , |
(1.1.3) |
т. е. нуль вектор ведет себя при сложения векторов аналогично числу нуль в арифметике.
Вектор (−a1, −a2,…, −an ) называется противоположным |
вектору |
a =(a1,a2,…,an ) и обозначается −a . Очевидно, |
|
a +(−a) =0 , |
(1.1.4) |
Операция вычитания векторов определяется как сложение с противопо ложным вектором
a −b =a +(−b) , |
(1.1.5) |
Под произведением вектора a =(a1,a2,…,an ) на число λ понимают вектор
λa =(λa1, λa2,…, λan ) ,
компоненты которого получаются умножением всех компонент данного векто ра на данное число. Например, если первая из рассмотренных мебельных фаб рик пожелает увеличить свой выпуск в два раза, то это будет означать, что новый годовой план производства будет задаваться вектором
2a =(2000, 20 000, 4000,1000) .
Умножение вектора на число обладает свойством ассоциативности |
|
λ(µa) =(µλ)a |
(1.1.6) |
и свойством |
дистрибутивности относительно векторного и числового со |
|
множителей |
|
|
|
(λ+µ)a =λa +µa , |
(1.1.7) |
|
λ(a +b) =λa +λb . |
(1.1.8) |
Очевидно, при умножении любого вектора на единицу этот вектор не изме нится:
10
1 a =a , |
(1.1.9) |
а при умножении любого вектора на число нуль и любого числа на нуль вектор получается нуль вектор
0 a =λ 0 =0, |
(1.1.10) |
Скалярным произведением двух n мерных векторов |
a =(a1, a2,…, an ) и |
b =(b1, b2,…, bn ) называют число, равное сумме произведений одноименных ко
ординат данных векторов |
|
a,b =a1b1 +a2b2 + +anbn . |
(1.1.11) |
В пакете прикладных программ Microsoft Excel скалярное произведение век торов вычисляется с помощью функции
a, b = СУММПРОИЗВ(вектор a; вектор b),
где «вектор a» и «вектор b» — ссылки на ячейки рабочего листа, содержащие соответствующие векторы.
ПРИМЕР 1.1.1. Даны векторы a = (1, 5, 15) и b = (2, –1, 0). Требуется вычислить их скалярное произведение вручную и с помощью пакета Microsoft Excel.
Решение. Вычисляем a, b по формуле (1.1.11): a, b =1 2 +5 (−1) +15 0 = −3 .
Теперь введем данные векторы a и b в ячейки A2:C2 и E2:G2 рабочего листа Micro$ soft Excel, а в ячейку A5 введем формулу «=СУММПРОИЗВ(A2:C2;E2:G2)», как пока зано на рис. 1.1.1, а. Результат вычисления представлен на рис. 1.1.1, б (в ячейке A5). Естественно, результаты ручного и компьютерного вычисления скалярного произве дения совпали.
1
2 |
3 |
4 |
5
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
|
|
b |
|
|
1 |
5 |
15 |
2 |
–1 |
0 |
<a, b>
=СУММПРОИЗВ(A2:C2;E2:G2)
а) формула Microsoft Excel
1 |
2 |
3 |
4 |
5
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
|
|
b |
|
|
1 |
5 |
15 |
2 |
–1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
<a, b> |
|
|
|
|
|
–3 |
|
|
|
|
|
б) результаты расчета
Рис. 1.1.1. Вычисление скалярного произведения в Microsoft Excel
Операция скалярного умножения векторов обладает следующими легко проверяемыми с в о й с т в а м и:
11
a,b = b,a , λ a,b = λa,b = a,λb , a +b,c = a,c + b,c , a,a 0 , (1.1.12)
причем знак равенства в последнем соотношении возможен лишь при a =0 . Предположим, что в магазине продается картофель, помидоры и огурцы,
причем цена 1 кг картофеля равна 10 руб., цена 1 кг огурцов равна 30 руб., а цена 1 кг помидоров равна 50 руб. Тогда вектор цен в этом магазине равен
p =(10, 30, 50) . Если |
покупатель |
собирается приобрести набор |
товаров |
x =(x1, x2, x3 ) , т. е. x1 |
кг картофеля, |
x2 кг огурцов и x3 кг помидоров, |
то ска |
лярное произведение вектора цен p на вектор набора товаров x, равное |
|
||
p, x =10x1 +30x2 +50x3 ,
представляет собой стоимость набора товаров x. Покупатель, располагающий для покупки картофеля, помидоров и огурцов бюджетом Q =400 руб., может приобрести только такие наборы товаров, которые удовлетворяют так назы ваемому бюджетному ограничению
p, x Q
или, в нашем случае,
10x1 +30x2 +50x3 400 .
В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и
1.Что такое вектор?
2.Как найти сумму двух векторов, произведение вектора на число, ска лярное произведение двух векторов?
3.Приведите примеры векторов из экономической практики.
|
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я |
1. |
Даны векторы a = (15, –12, 2) и b = (8, 16, 24). Найдите их сумму, раз |
ность и скалярное произведение. |
|
2. |
|
3. |
Даны векторы a = (1, 2, 3) и b = (2, 4, 0). Вычислите 2a +3b, −a +2b . |
12