Файл: Algebra.pdf

Скачать файл (2,12Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.09.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

−(λ+3)(λ−1)(λ−3) =0 ,

и его корни равны

λ1 = −3, λ2 =1,

λ3 =3 .

Соответствующая однородная система линейных уравнений

−λ		1	2	x1			0
	4	−λ	1	x		=		0
					2
	3	−1 1	−λ x					0
					3

для собственного значения λ1 = −3 имеет вид

3		1	2 x1				0
	4	3	1	x		=		0
					2
	3	−1	4	x				0
					3

или

3x1 +x2 +2x3 =0,4x1 +3x2 +x3 =0,

3x1 −x2 +4x3 =0.

Общее решение этой системы линейных уравнений найдем методом Жордана — Гаус са. Вычислительный процесс метода Жордана — Гаусса иллюстрируется табл. 4.3.1.

Т а б л и ц а 4.3.1

x1	x2	x3	B
3	1	2	0
4	3	1	0
3	–1	4	0
1	1/3	2/3	0
0	5/3	–5/3	0
0	–2	2	0
1	0	1	0
0	1	–1	0
0	0	0	0

Таким образом, общее решение данной системы линейных уравнений можно най ти из системы

x1	+x3	=0,
	x2 −x3	=0,

равносильной исходной.

Выбрав в качестве свободной неизвестной x3 (соответственно, в качестве базис ных — x1 и x2 ), получим:

x1 = −x3 ,x2 = x3 .

Общее решение системы получим, придавая свободной переменной x3 произволь ные действительные значения α :

x1	−α
x	=	α	,	α .
2
x		α
3

Таким образом, множество всех собственных векторов, соответствующих собст венному значению λ1 = −3 , в координатной форме имеет вид:

−c1
	c	,
	1

c1

где c1 — произвольное действительное число, н е р а в н о е н у л ю.

Система линейных уравнений для определения собственного вектора, соответст вующего собственному значению λ2 =1 , имеет вид

−1		1	2 x1				0
	4	−1	1	x		=		0	.
					2
	3	−1	0	x				0
					3

Ее общее решение найдем методом Жордана — Гаусса (табл. 4.3.2).

Общее решение системы получим, придавая свободной переменной x3 произволь

ные действительные значения β			:
	x1			−β
	x			=	−3β	,	β .
		2
	x				β
		3
									Т а б л и ц а 4.3.2
	x1			x2			X3	b
	–1			1			2	0
	4			–1			1	0
	3			–1			0	0
	1			–1			–2	0
	0			3			9	0
	0			2			6	0
	1			0			1	0
	0			1			3	0
	0			0			0	0

Множество всех собственных векторов, соответствующих собственному значению

λ2 =1 , в координатной форме имеет вид:
−c2
	−3c	,	c ≠0 .
	2		2
	c2
	c2

Аналогичным образом определяется множество всех собственных векторов, соот ветствующих собственному значению λ3 =3 :

7c3
	11c	,	c ≠0 .
	3		3

5c3

Обратимся к экономическим приложениям рассмотренных понятий собст венных векторов и собственных значений и опишем так называемую модель

международной торговли.

В этой модели рассматриваются n стран, обозначенных номерами i = 1, 2, …, n, н а ц и о н а л ь н ы й д о х о д i й страны обозначается xi, а доля националь ного дохода, которую j я страна тратит на покупку товаров у i й страны, обо значается aij.

Вектор

x = x2 n×1 —

называется вектором национальных доходов, а матрица

a11	a12	a1n
a	a	a	n×n	—
A = 21	22	2n	n×n	—

	an2
an1	an2	ann

структурной матрицей.

Предполагается, что каждая страна весь свой доход тратит на закупку то варов и услуг — либо внутри страны, либо у других стран, т. е. сумма элемен тов любого столбца структурной матрицы равна единице:

n
∑aij =1,	j =1, 2,…, n .	(4.3.3)

i=1

Выручка i й страны от внутренней и внешней торговли составляет, очевидно,

pi = ∑aijxj =ai1x1 +ai2x2 + +ainxn , i =1, 2,…, n .

i=1

Требование б е з д е ф и ц и т н о с т и торговли приводит к условию, которое заключается в том, что выручка от торговли страны должна быть не меньше ее национального дохода:

pi .xi ,

i =1, 2,…, n

или

∑aijxj .xi , i =1, 2,…, n .

i=1

Если предположить, что для некоторой страны

	n
	∑aijxj > xi , i =1, 2,…, n ,									(4.3.4)
	i=1
то, записав условие (4.3.6) в развернутой форме:
a11x1 +a12x2 + +a1nxn > x1,
		+a22x2		+ +a2nxn				> x2		,
a21x1		+a22x2		+ +a2nxn				> x2		,
										(4.3.5)

a	x	+a	x	+ +a	nn	x	n	> x	n
	n1 1		n2 2		nn		n		n

и сложив все неравенства этой системы (4.3.7), получим, что

x1 (a11 +a21 + +an1 )+x2 (a12 +a22 + +an2 )+ +xn (a1n +a2n + +ann )> x1 +x2 + +xn ,

откуда, учитывая условия (4.3.5), заключаем:

x1 +x2 + +xn > x1 +x2 + + xn ,

а это невозможно. Значит, наше предположение (4.3.6) было неверным, и на самом деле

n
∑aijxj = xi , i =1, 2,…, n .	(4.3.6)

i=1

Запишем условия (4.3.8) в матричной форме:

Ax = x

или

Ax =1 x .

Таким образом, международная торговля является сбалансированной, если структурная матрица имеет собственные векторы, соответствующие собст венному значению λ =1.

ПРИМЕР 4.3.2. Определить, является ли международная торговля двух стран А и Б сбалансированной, если вектор национальных доходов этих стран

	9 000 000 000
x =
	5 000 000 000

а структурная матрица

0,5		0,9
A =	0,5	0,1	.

Решение. Составим характеристическое уравнение для матрицы А:

det	0,5 −λ	0,9	=0 ,

	0,5	0,1−λ

т. е.

(0,5 −λ)(0,1−λ) −0,9 0,5 =0

или

λ2 −0,6λ−0,4 =0 .

Решаем это квадратное уравнение: дискриминант

D =0,36 −4 (−0,4) =1,96 =1,42

и корни

λ1, 2	= −(−0,6) ±	1,96 =	0,6 ±1,4	,

	2	2

т. е.

λ1 =1, λ2 = −0,4 .

Итак, структурная матрица имеет собственное значение, равное единице, поэтому существует принципиальная возможность сбалансированной торговли.

Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1 =1, найдем как решения системы линейных алгебраических уравнений

0,5

0,9

0,1

x1	x1	или	0,5x1 +0,9x2		= x1,
	=	или		+0,1x2	= x2 .
x2	x2		0,5x1	+0,1x2	= x2 .

Перенеся все неизвестные в левую часть, получим

−0,5x1		+0,9x2	=0,
	0,5x1	−0,9x2	=0,

откуда

x1 =1,8x2 .

Итак, собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1 =1,

имеют вид
1,8α		α ≠0 ,
	,	α ≠0 ,
α
вектор национальных доходов данных стран
x =	9 000 000 000
x =
	5 000 000 000