Файл: cosmint.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.09.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3. nX@TONOWSKAQ SFERI^ESKAQ MODELX. kONE^NO, ODNORODNAQ I IZOTROPNAQ MODELX | QWNAQ ABSTRAKCIQ. wSE, ^TO MY NABL@DAEM (KROME ri), RASPREDELENO NEODNORODNO I NEIZO- TROPNO. pO\TOMU PO^TI SRAZU VE WSLED ZA FRIDMANOWSKIMI BYLI POSTROENY BOLEE OB- ]IE MODELI. pROSTEJ[EJ IZ NIH QWLQETSQ SFERI^ESKI SIMMETRI^NAQ MODELX lEMETRA| tOLMENA|bONDI [12]. rASSMOTRIM EE W NX@TONOWSKOM PRIBLIVENII, SDELAW DWA SLEDU@]IH PREDPOLOVENIQ.

1)mOVNO PRENEBRE^X DAWLENIEM SREDY I KOSMOLOGI^ESKIM SLAGAEMYM.

2)sLOI SREDY S TE^ENIEM WREMENI NE PERESEKA@TSQ.

pRI SFERI^ESKOJ SIMMETRII IMEETSQ WYDELENNYJ CENTR. wWEDEM OBY^NYE SFERI^ESKIE KOORDINATY PO OTNO[ENI@ K \TOMU CENTRU r; ; '. kAK I W PROSTEJ[EM SLU^AE, RASSMOTRIM [AR RADIUSOM R S CENTROM, SOWME]ENNYM S CENTROM SIMMETRII. pRI SFERI^ESKOJ SIM- METRII W RASPREDELENII WE]ESTWA POQWLQETSQ DOPOLNITELXNAQ ZAWISIMOSTX WSEH WELI^IN OT KOORDINATY r.

uRAWNENIE DWIVENIQ TO^KI NA GRANICE WYDELENNOGO [ARA NE OTLI^AETSQ PO WIDU OT URAWNENIQ (3), LI[X PROIZWODNAQ PO WREMENI TEPERX ^ASTNAQ:

@2R

GM

 

 

@t2

= R2

:

(110)

wHODQ]AQ S@DA MASSA

r

M(r) = 4 Z (t; r0)R2(t; r0)@R(t; r0)dr0: (111)

@r0

0

~TOBY RAWENSTWO (111) WYPOLNQLOSX, T. E. ^TOBY MASSA ZAWISELA TOLXKO OT RASSTOQNIQ, NO NE OT WREMENI, NEOBHODIMO, ^TOBY PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE W FORMULE (111) NE ZAWISELO OT WREMENI. pRI \TOM PLOTNOSTX

(t; r) =

 

 

M0(r)

:

(112)

 

4 R2(t; r)@R(t; r)

 

 

 

 

@r

 

 

oSTAETSQ WERNYM I SOOTNO[ENIE (4), IME@]EE SMYSL ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII

1

@R

2

GM

 

 

2

@t

! =

R + E:

 

(113)

mASSA M I \NERGIQ E ZAWISQT OT r. mOVNO ODNAKO WZQTX W KA^ESTWE OSNOWNOGO ARGU- MENTA IMENNO MASSU. tOGDA E = E(M). wSE DRUGIE FUNKCII TOVE BUDEM S^ITATX ZAWI- SQ]IMI OT MASSY, NO OBOZNA^ENIQ IH NE IZMENQEM. tOGDA RAWENSTWO (111) PEREPI[ETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

M

 

 

 

@R(t; M0)

 

 

 

0

0

 

0

 

M = 4 Z (t; M

)R2(t; M

)

@M0

dM ;

(114)

0

 

 

 

 

 

 

 

A WYRAVENIE DLQ PLOTNOSTI (112) PEREJDET W

 

 

 

 

 

(t; M) =

 

1

 

 

:

 

(115)

 

 

4 R2(t; M)@R(t; M)

 

@M

48

4. rE[ENIQ URAWNENIJ I SFERI^ESKIE MODELI. nE TREBUETSQ ISKATX NOWYE RE[ENIQ PRIWEDENNYH URAWNENIJ, TAK KAK OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI FORMULY, OTRAVA@]IE ZAWI- SIMOSTI WREMENI OT RADIUSA [ARA, S DOPOLNITELXNOJ ZAWISIMOSTX@ POSTOQNNYH INTEGRI- ROWANIQ OT M:

R(t;M)

 

 

 

 

 

t = t0(M) + Z

 

 

 

dR0

 

:

(116)

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

q

 

 

2

GM=R0

+ E(M)

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dWE PROIZWOLXNYE FUNKCII E(M) I t0(M) OPREDELQ@TSQ ZADANIEM NA^ALXNYH USLOWIJ, T. E. FUNKCII R(t; M) I SKOROSTI EE IZMENENIQ @R(t; M) W NEKOTORYJ MOMENT WREMENI t1.

@t

tOGDA RASPREDELENIE PLOTNOSTI (t1; M) NAHODITSQ SOGLASNO WYRAVENI@ (115), MOMENTOW t0(M) | IZ FORMULY (116), A \NERGII | IZ SOOTNO[ENIQ (113).

iNTEGRAL W FORMULE (116) MOVET BYTX WY^ISLEN S POMO]X@ TEH VE PODSTANOWOK, ^TO I W x 1. wYPI[EM OKON^ATELXNYE FORMULY:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

PRI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

cos

E(M) < 0;

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

PRI

E(M) = 0;

 

R(t; M) = Rm(M) 8

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch

1

PRI

E(M) > 0;

 

 

 

 

 

 

:

8

 

 

sin

PRI

E(M) < 0;

 

 

Rm(M)

 

3

 

 

 

 

 

t = t0(M) +

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

PRI

E(M) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

E(M) >

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zDESX

 

q

j

 

 

 

j > sh

PRI

E(M) > 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rm(M) =

 

GM

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2jE(M)j

 

 

w SLU^AE RAWNOJ 0 \NERGII POLU^AETSQ QWNAQ ZAWISIMOSTX

 

 

 

 

 

3

 

2=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(t; M) = 2

 

 

 

(2GM)1=3[t t0(M)]2=3:

(117)

(118)

(119)

(120)

|TO RAWENSTWO WYPOLNQETSQ PRI TEH ZNA^ENIQH M, PRI KOTORYH \NERGIQ OBRA]AETSQ W 0. pRI TOVDESTWENNOM RAWENSTWE \NERGII 0 ONO WERNO WO WSEH TO^KAH.

zNAK \NERGII SU]ESTWENNO WLIQET NA HARAKTER DWIVENIQ. eSLI E(M) < 0, TO IMEETSQ OGRANI^ENIE NA RADIUS:

R(t; M)

GM

 

:

(121)

 

 

E(M)

 

 

j

j

 

 

eSLI E(M) 0, TO OGRANI^ENIQ NET I RAS[IRENIE MOVET PROISHODITX NEOGRANI^ENNO. |TO NAPOMINAET ODNORODNYE MODELI. oDNAKO IME@TSQ I PRINCIPIALXNYE OTLI^IQ SFERI^ESKOJ

MODELI OT ODNORODNOJ. wO-PERWYH, KAK WIDNO IZ RAWENSTWA (116), PRI NEODNORODNOM RASPREDELENII PLOTNOSTI RAZLI^NYE ^ASTI WE]ESTWA PERWONA^ALXNO OKAZYWA@TSQ W CENTRE W RAZNYE MOMENTY. wO-WTORYH, ZNAKI \NERGII W RAZNYH MESTAH MOGUT RAZLI^ATXSQ, TAK ^TO ODNI SLOI, BOLEE DALEKIE OT CENTRA, MOGUT RAZLETATXSQ DO BESKONE^NOSTI, A DRUGIE, BOLEE BLIZKIE K CENTRU, WOZWRA]ATXSQ W NEGO OBRATNO. nEDOPUSTIMO LI[X PERESE^ENIE SLOEW.

49

sFERI^ESKI SIMMETRI^NYE RE[ENIQ PEREHODQT W ODNORODNYE. dEJSTWITELXNO, ESLI PLOTNOSTX WE]ESTWA NE ZAWISIT OT KOORDINATY r ILI, ^TO TO VE SAMOE, OT M, TO

M =

4

(t)R3(t; M)

(122)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

I, SLEDOWATELXNO, MOVNO POLOVITX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(t; M) = M1=3F (t):

(123)

pODSTAWIW \TO OPREDELENIE W SOOTNO[ENIE (113), POLU^IM, ^TO E(M)

/ M2=3. tOGDA I

RAWENSTWO (118) PREOBRAZUETSQ W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = t0 + Z

 

 

 

 

dF 0

 

:

(124)

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EM 2=3

2

G=F 0

0

 

 

q

 

 

 

 

zDESX UVE t0 NE ZAWISIT OT M, TAK KAK OT M NE ZAWISIT INTEGRAL. zNA^IT, WSE ^ASTICY NAHODILISX W CENTRE ODNOWREMENNO (SINGULQRNOSTX), ^TO HARAKTERNO DLQ FRIDMANOWSKIH

MODELEJ. pOLUAMPLITUDA PRI \TOM Rm(M) / 2qjMj.

5. wOZMU]ENIQ ODNORODNOJ MODELI. rASSMOTRIM, NAKONEC, MALOE WOZMU]ENIE W ODNO- RODNOJ MODELI, IME@]EE SFERI^ESKU@ GEOMETRI@. tAKOE WOZMU]ENIE SOOTWETSTWUET SKOP- LENI@ GALAKTIK, KOTOROE MOVNO PREDSTAWITX KAK LOKALXNOE OTKLONENIE OT ODNORODNOSTI. pRIMEM, ^TO RADIUS WOZMU]ENIQ (SKOPLENIQ) MAL PO SRAWNENI@ S RASSTOQNIEM DO GO- RIZONTA I S RADIUSOM KRIWIZNY. dRUGIE WOZMU]ENIQ (SOSEDNIE SKOPLENIQ) NE WLIQ@T NA

RASSMATRIWAEMOE.

nA RANNIH \TAPAH RAS[IRENIE PROISHODILO PO ZAKONU, BLIZKOMU K PARABOLI^ESKOMU. pO\TOMU PRIMEM, ^TO W NEWOZMU]ENNOJ OKRUVA@]EJ SREDE E = 0. w MALOJ VE SFERI^ESKOJ OKRESTNOSTI CENTRA \NERGIQ EDINICY MASSY OTRICATELXNA I MALA PO SRAWNENI@ S \NERGIEJ RAS[IRENIQ. pOSLEDNQQ W RAS^ETE NA EDINICU MASSY MOVET BYTX OCENENA KAK KWADRAT SREDNEJ SKOROSTI RAS[IRENIQ, T. E.

R

2

 

jE(M)j t

:

(125)

dLQ MALOGO OTLI^IQ PLOTNOSTI WE]ESTWA OT SREDNEJ NEOBHODIMO, ^TOBY PROIZWEDENIE E(M)M 2=3 SLABO ZAWISELO OT M. |TO USLOWIE MOVNO WYRAZITX ^EREZ LOGARIFMI^ESKU@ PROIZWODNU@:

M @E(M)

2

 

 

 

 

3

1:

(126)

E(M) @M

sFERI^ESKOE SKOPLENIE S OTRICATELXNOJ \NERGIEJ RAS[IRQETSQ MEDLENNEE, ^EM OKRUVA@- ]EE RAZMAZANNOE WE]ESTWO.

oPREDELIM OTNOSITELXNYE IZMENENIQ RADIUSA I PLOTNOSTI MASSY SKOPLENIQ, ÆR=RF I Æ = F, A TAKVE SKOROSTX IZMENENIQ RADIUSA W NEKOTORYJ MOMENT, GDE RADIUS NEWOZMU]EN- NOGO [ARA, RAS[IRQ@]EGOSQ SOGLASNO RE[ENI@ fRIDMANA S NULEWOJ \NERGIEJ (SM. TABL. 1 I 2 I FORMULY (14)), NEWOZMU]ENNYE PLOTNOSTX I SKOROSTX RAS[IRENIQ

3

 

2=3

 

 

 

 

1 1

 

 

RF = 2

 

(2GM)1=3t2=3;

F =

 

 

 

;

(127)

6 G t2

 

 

2

 

1=3

 

 

 

 

 

 

 

vF = 3

(2GM)1=3t

1=3:

 

 

 

 

(128)

50

dLQ OPREDELENIQ ISKAVENIQ RADIUSA RAZLOVIM FUNKCII (117) I (118) PRI E(M) < 0 PO FORMULE tEJLORA S DWUMQ SLAGAEMYMI:

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

! ;

 

 

 

 

 

Rm 3

 

 

 

 

 

 

 

2

! :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R Rm 2

1 12

t t0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(129)

q

 

6

 

 

 

20

 

 

 

 

 

2jEj

 

 

 

 

 

 

 

 

iSKL@^IW PARAMETR , POLU^IM DLQ OTKLONENIQ RADIUSA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÆR

= "1

 

 

 

t0(M)

#

2=3

 

 

 

 

1 E(M)

jRF "1

 

 

 

 

t0(M)

#

4=3

 

 

 

 

 

 

 

RF

 

 

t

 

 

 

 

 

1

5 j GM

 

 

 

 

t

 

 

 

 

:

 

 

(130)

pOWEDENIE SREDNEJ PLOTNOSTI WOZMU]ENIQ

 

= (3=4 )M=R3 OPISYWAETSQ ANALOGI^NOJ

 

FORMULOJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

#

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

#

4=3

 

 

Æ

= F =

1

 

t0(M)

 

1 + 3 jE(M)jRF

1

 

t0(M)

(131)

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

F

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

5 GM

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

lEGKO OCENITX I POWEDENIE SKOROSTI:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = @R

= vF

"

1

 

t0(M)

#

1=3

81

 

2 jE(M)jRF

"

1

 

t0(M)

#

2=3

9 :

(132)

 

 

@t

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

<

 

5 GM

 

 

 

t

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

rADIUS WOZMU]ENNOGO [ARA S NULEWOJ \NERGIEJ WSEGDA MENX[E, ^EM U NEWOZMU]ENNOGO,

NO S TE^ENIEM WREMENI RASTET I SHODITSQ K NEWOZMU]ENNOMU. sOOTWETSTWENNO PLOTNOSTX WY[E RAWNOMERNOJ, SO WREMENEM UBYWAET I STREMITSQ K POSLEDNEJ.

eSLI E < 0, TO OTKLONENIQ KAK RADIUSA, TAK I PLOTNOSTI PRI DOSTATO^NO BOLX[IH t t0 STANOWQTSQ PROPORCIONALXNY NEWOZMU]ENNOMU RADIUSU. pRI \TOM WOZMU]ENIE RADIUSA, OSTAWAQSX OTRICATELXNYM I MALYM (PO PREDPOLOVENI@), RASTET PO MODUL@, A OTKLONENIE

PLOTNOSTI POLOVITELXNO I RASTET PROPORCIONALXNO 3ÆR=RF.

 

sKOROSTX WNUTRENNEGO DWIVENIQ SKOPLENIQ PRI E < 0 I t0 = 0

 

v = 52 jMEjvFRF / t1=3:

(133)

zDESX RASSMOTREN PROSTEJ[IJ SLU^AJ ISKAVENIQ RAS[IRENIQ, MODELIRU@]IJ POWEDE- NIE SKOPLENIQ GALAKTIK KAK SLABOJ SFERI^ESKOJ FLUKTUACII, W NX@TONOWSKOM PRIBLIVE- NII. oKAZYWAETSQ, ^TO KAK I W SLU^AE ODNORODNYH MODELEJ, RELQTIWISTSKOE RASSMOTRENIE PRIWODIT K KA^ESTWENNO TEM VE WYWODAM.

w KOSMOLOGII POWEDENIE RAZLI^NOGO RODA WOZMU]ENIJ, W TOM ^ISLE RAZLI^NYH KOLE- BANIJ RASSMATRIWAETSQ W BOLEE OB]IH PREDPOLOVENIQH, U^ITYWA@TSQ GIDRODINAMI^ESKIE QWLENIQ I FIZI^ESKIE PROCESSY WZAIMODEJSTWIQ WE]ESTWA I IZLU^ENIQ.

51

Смотрите также файлы