Файл: cosmint.pdf

x 2. iNTERPRETACIQ RE[ENIJ PO oto

1. pEREHOD K RE[ENIQM fRIDMANA. wOZWRATIMSQ K ISHODNOJ MODELI PROSTRANSTWA, ZA- POLNENNOGO ODNORODNYM WE]ESTWOM S NENULEWOJ SREDNEJ PLOTNOSTX@. sTROGO GOWORQ, K TA- KOJ MODELI TEORIQ nX@TONA NEPRIMENIMA, TAK KAK SOGLASNO EJ NX@TONOWSKIJ POTENCIAL OBRATILSQ BY W KAVDOJ TO^KE W BESKONE^NOSTX. pO\TOMU PRI NAHOVDENII NX@TONOWSKIH RE- [ENIJ PRI[LOSX IZ BESKONE^NOGO PROSTRANSTWA WYREZATX KONE^NYJ [AR. mEVDU TEM OSNOW- NYM PREDPOLOVENIEM FRIDMANOWSKOJ TEORII QWLQETSQ IMENNO ODNORODNOE RASPREDELENIE WE]ESTWA I IZOTROPNOSTX PROSTRANSTWA (KOSMOLOGI^ESKIJ PRINCIP). oto SPRAWLQETSQ S \TOJ TRUDNOSTX@. (oTMETIM WYSKAZYWAEMOE INOGDA MNENIE, ^TO OBRA]ENIE POTENCIALA W BESKONE^NOSTX NE QWLQETSQ FATALXNYM NEDOSTATKOM, TAK KAK SAM PO SEBE POTENCIAL NE NUVEN, ISPOLXZU@TSQ TOLXKO PROIZWODNYE OT NEGO.)

zDESX BUDET PODROBNO IZLOVEN ODIN IZ WARIANTOW KOSMOLOGI^ESKOJ TEORII, PRI KOTOROM S^ITAETSQ, ^TO TAK NAZYWAEMAQ KOSMOLOGI^ESKAQ POSTOQNNAQ |JN[TEJNA RAWNA NUL@, A WE]ESTWO, ZAPOLNQ@]EE PROSTRANSTWO, IMEET HARAKTER PYLI I NE OKAZYWAET DAWLENIQ.

eSLI PROWESTI STROGOE RE[ENIE URAWNENIJ TQGOTENIQ |JN[TEJNA PRI POSTOQNNOJ PLOTNOSTI WE]ESTWA BEZ DAWLENIQ, TO REZULXTAT POLU^AETSQ SOWPADA@]IM PO FORME S NX@TONOWSKIM, NO S DRUGOJ INTERPRETACIEJ. kAK W POLUKLASSI^ESKOM METODE KWANTOWOJ MEHANIKI, NADO KLASSI^ESKIE WELI^INY ZAMENITX NA NOWYE, W DANNOM SLU^AE RELQTIWIST- SKIE, WOZNIKA@]IE W TEORII |JN[TEJNA.

w \TOJ TEORII R > 0 OBOZNA^AET NE RADIUS NEKOTOROGO [ARA (ILI KAKOJ-TO MAS[TAB), A RADIUS KRIWIZNY TREHMERNOGO PROSTRANSTWA. kRIWIZNA \TA SOGLASNO |JN[TEJNU WYZYWA- ETSQ NALI^IEM TQVELYH MASS I PRI RAWNOMERNOM RASPREDELENII PLOTNOSTI TAKVE NE ZAWI- SIT OT MESTA W PROSTRANSTWE. eSLI k = 0, TO ZNA^ENIE RADIUSA KRIWIZNY NESU]ESTWENNO (W PLOSKOM PROSTRANSTWE ON BESKONE^EN), TOGDA R DEJSTWITELXNO NEKOTORYJ MAS[TAB. w OB- ]EM SLU^AE KRIWIZNA PROSTRANSTWA RAWNA k=R2. kLASSI^ESKOE FINITNOE (\LLIPTI^ESKOE) DWIVENIE SOOTWETSTWUET PROSTRANSTWU POSTOQNNOJ POLOVITELXNOJ, A GIPERBOLI^ESKOE | POSTOQNNOJ OTRICATELXNOJ KRIWIZNY.

dALEE, WELI^INA E DOLVNA BYTX ZAMENENA PO FORMULE E = c2=2, A PROIZWEDENIE GM = Rmc2. sLEDOWATELXNO, Rm | \TO RASSTOQNIE, NA KOTOROM NX@TONOWSKAQ POTENCI- ALXNAQ \NERGIQ TELA PO OTNO[ENI@ K PRITQGIWA@]EMU CENTRU RAWNA \NERGII POKOQ TELA:

zAMETIM, ^TO UDWOENNOE ZNA^ENIE \TOGO RASSTOQNIQ Rg = 2Rm NAZYWAETSQ GRAWITACIONNYM RADIUSOM. nA RASSTOQNII GRAWITACIONNOGO RADIUSA SKOROSTX UBEGANIQ OT TELA (WTORAQ KOSMI^ESKAQ) KAK RAZ RAWNA SKOROSTI SWETA.

nETRIWIALXNOSTX ZAMENY NX@TONOWSKOJ WELI^INY | KLASSI^ESKOJ \NERGII E | NA c2=2 POKAZYWAET, ^TO UPRO]ENNOE IZLOVENIE mILNA POZWOLQET NAJTI FORMU RE[ENIJ ZA- DA^I, NO NE PODMENQET OB]EJ TEORII OTNOSITELXNOSTI. tOLXKO oto PRAWILXNO U^ITYWAET METRIKU PROSTRANSTWA|WREMENI. kROME TOGO, MILNOWSKIJ PODHOD WOZMOVEN LI[X PRI PRO- STYH MODELQH.

w REZULXTATE UKAZANNYH ZAMEN KLASSI^ESKIJ ZAKON SOHRANENIQ \NERGII PRIMET FORMU

7

IZ KOTOROJ SLEDUET, ^TO AMPLITUDA IZMENENIQ RADIUSA KRIWIZNY W ZAKRYTOJ MODELI

RAWNA 2Rm.

nAKONEC, POD WREMENEM t PODRAZUMEWAETSQ SOBSTWENNOE WREMQ KAVDOJ TO^KI PROSTRAN- STWA, ^TO SOOTWETSTWUET WYBORU SOPUTSTWU@]EJ SISTEMY OTS^ETA W KAVDOJ TO^KE. sIN- HRONIZOWATX ^ASY MOVNO PO ZNA^ENI@ PLOTNOSTI WE]ESTWA, KOTORAQ W DANNYJ MOMENT ODINAKOWA WO WSEM PROSTRANSTWE. w REZULXTATE OKAZYWAETSQ, ^TO W KAVDYJ MOMENT WRE- MENI METRIKA PROSTRANSTWA, T. E. ZAWISIMOSTX RASSTOQNIJ OT KOORDINAT ODINAKOWA WO WSEH TO^KAH I PO WSEM NAPRAWLENIQM, A SISTEMA KOORDINAT DWIVETSQ WMESTE S WE]ESTWOM, KAK PRIKLEENNAQ K NEMU. nA^ALO KOORDINAT MOVNO WYBRATX W L@BOJ TO^KE, SOPOSTAWIW \TOJ TO^KE KOORDINATU r = 0.

zAMETIM, ^TO URAWNENIQ (18) I (19) NE IZMENQ@T SWOEGO WIDA I SMYSLA.

2. fRIDMANOWSKIE RE[ENIQ. pEREPI[EM POLU^ENNYE NERELQTIWISTSKIE RE[ENIQ W RE- LQTIWISTSKIH OBOZNA^ENIQH I PRIWEDEM IH W DWUH TABLICAH.

iZ POSLEDNEGO STOLBCA TABL. 1 SLEDUET, ^TO SKOROSTX IZMENENIQ RADIUSA KRIWIZNY MO- VET BYTX SKOLX UGODNO BOLX[OJ. |TO NE PROTIWORE^IT PRINCIPU TEORII OTNOSITELXNOSTI, TAK KAK NIKAKOJ PEREDA^I SIGNALOW ZDESX NE PROISHODIT.

dANNYE PREDPOSLEDNEGO STOLBCA W TABL. 2 POLU^ENY S POMO]X@ URAWNENIQ (18). o WELI^INE, POME]ENNOJ W POSLEDNEM STOLBCE, SKAVEM NIVE.

t A B L I C A 1. |WOL@CIQ RADIUSA KRIWIZNY

t A B L I C A 2. |WOL@CIQ PLOTNOSTI I POSTOQNNOJ hABBLA

3. mETRIKA ZAMKNUTOGO TREHMERNOGO PROSTRANSTWA. rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ k = 1. rADIUS KRIWIZNY RASTET OT 0 PRI t = 0 DO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ 2Rm PRI

8

= ; t = Rm=c. zATEM ROST SMENQETSQ UMENX[ENIEM SNOWA DO 0 PRI = 2 ; t = 2 Rm=c. pROSTRANSTWO IMEET POSTOQNNU@ POLOVITELXNU@ KRIWIZNU. pRO]E WSEGO PONQTX STRUK- TURU TAKOGO PROSTRANSTWA ISHODQ IZ ^ETYREHMERNOJ MODELI.

w ^ETYREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE MOVNO PREDSTAWITX TREHMERNOE PROSTRAN- STWO POSTOQNNOJ POLOVITELXNOJ KRIWIZNY W WIDE GIPERSFERY, OPREDELQEMOJ URAWNENIEM

dIFFERENCIAL INTERWALA W ^ETYREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE OPREDELQETSQ, KAK OBY^NO, W WIDE SUMMY KWADRATOW DIFFERENCIALOW ^ETYREH DEKARTOWYH KOORDINAT. zAPI- [EM EGO W SFERI^ESKIH KOORDINATAH

wOZXMEM DWE TO^KI W PROSTRANSTWE S KOORDINATAMI = 0 I = 0 . sOOTWETSTWU@- ]IE KOORDINATY r BUDUT 0 I r0 = R sin 0. pUSTX W PERWOJ TO^KE NAHODITSQ NABL@DATELX, WTORU@ NAZOWEM PROBNOJ. sOEDINIM \TI TO^KI LU^OM, ISHODQ]IM OT NABL@DATELQ. wDOLX LU^A ZNA^ENIQ UGLOW I ' BUDUT POSTOQNNYMI, A \LEMENT RASSTOQNIQ BUDET dl = Rd , TAK ^TO RASTOQNIE OT NABL@DATELQ DO PROBNOJ TO^KI l0 = R 0 . |LEMENT PLO]ADI POWERHNOSTI SFERY NA \TOM RASSTOQNII r02d2! = R2 sin2 0 sin d d'. |LEMENT d2! OTNOSITSQ K EDINI^NOJ SFERE, PO\TOMU r0 | \TO RADIUS SFERY, PROHODQ]EJ ^EREZ PROBNU@ TO^KU. w PROSTRANSTWE POSTOQNNOJ POLOVITELXNOJ KRIWIZNY RADIUS r0 MENX[E RASSTOQNIQ OT NABL@DATELQ DO POWERHNOSTI SFERY r0 = R sin 0 < l0 = R 0 , NABL@DATELX NE NAHODITSQ W CENTRE \TOJ SFERY, KOTORYJ WOOB]E NE POME]AETSQ W REALXNOM PROSTRANSTWE, A QWLQETSQ TO^KOJ ^E- TYREHMERNOGO PROSTRANSTWA. pLO]ADX POWERHNOSTI SFERY RADIUSA r = r0 WY^ISLQETSQ SRAZU, TAK KAK INTEGRAL PO SFERI^ESKIM UGLAM RAWEN 4 : ONA RAWNA 4 r02 = 4 R2 sin2 0 . lEGKO NAHODITSQ I DLINA \KWATORA \TOJ SFERY, OPREDELQEMOGO USLOWIQMI r = r0; = =2:

9

sin 0 . oBE \TI WELI^INY S ROSTOM 0 SNA^ALA RASTUT DO MAKSIMUMA, A ZATEM UBYWA@T I OBRA]A@TSQ W NULX PRI 0 = , PRI^EM OB_EM, ZAKL@^ENNYJ WNUTRI SFERY, S UWELI^ENIEM KOORDINATY 0 , KAK I RASSTOQNIE l0, MONOTONNO RASTET:

pOLNYJ OB_EM PROSTRANSTWA W DANNOM SLU^AE KONE^EN: V ( ) = 2 2R3. pO\TOMU TA- KOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM (ILI ZAKRYTYM). oNO ANALOGI^NO POWERHNOSTI TREHMERNOJ SFERY.

dEJSTWITELXNO, OTLI^IE ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO W DWUMERNOM SLU^AE NET KOORDINATY z. uRAWNENIE SFERY IMEET WID (22), NO r2 = x2 + y2. wO WSEH OSTALXNYH RAWENSTWAH TAKVE NADO OPUSTITX z (POLOVITX z = 0 ILI S^ITATX, ^TO UGOL = =2). tOGDA d! = d' I \LEMENT DWUMERNOGO OB_EMA (PLO]ADI NA SFERE) d2r = R2 sin d d'. oB_EM TAKOGO PRO- STRANSTWA, ESTESTWENNO, RAWEN PLO]ADI POWERHNOSTI SFERY 4 R2. w SLU^AE DWUMERNOJ SFERY W TREHMERNOM PROSTRANSTWE O^EWIDNO, ^TO RASSTOQNIE DO OKRUVNOSTI, PROWEDENNOJ NA \TOJ SFERE, BOLX[E, ^EM EE RADIUS, A CENTR OKRUVNOSTI NAHODITSQ NE NA SFERE, A WNU- TRI NEE. o^EWIDNO TAKVE, ^TO RADIUS OKRUVNOSTI (PARALLELI) I EE DLINA S UDALENIEM OT FIKSIROWANNOJ TO^KI (POL@SA) SNA^ALA RASTUT, A ZATEM UMENX[A@TSQ.

4. mETRIKA OTKRYTYH PROSTRANSTW. sLU^AJ k = 1 NE DOPUSKAET STOLX NAGLQDNOJ INTERPRETACII: NADO RASSMATRIWATX SRAZU ^ETYREHMERNOE PROSTRANSTWO lOBA^EWSKOGO. eGO OPISANIE OTLI^AETSQ OT PRIWEDENNOGO WY[E ZAMENOJ NEKOTORYH PL@SOW NA MINUSY. wMESTO GIPERSFERY NADO RASSMATRIWATX DRUGU@ GIPERPOWERHNOSTX: WERHN@@ ^ASTX DWU- POLOSTNOGO GIPERBOLOIDA WRA]ENIQ PRI INDEFINITNOJ METRIKE, T. E.

sLEDSTWIEM \TOGO BUDET ZAMENA TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ NA GIPERBOLI^ESKIE, KAK PRI KLASSI^ESKOM RASSMOTRENII W PREDYDU]EM PARAGRAFE. nAPRIMER:

tREHMERNOE PROSTRANSTWO TOVE OKAZYWAETSQ PROSTRANSTWOM lOBA^EWSKOGO I IMEET BESKO- NE^NYE PROTQVENNOSTX I OB_EM. oNO NAZYWAETSQ GIPERBOLI^ESKIM, ILI OTKRYTYM. w NEM, KAK LEGKO ZAMETITX, RADIUS SFERY, WSE TO^KI KOTOROJ NAHODQTSQ NA ODNOM RASSTOQNII OT NABL@DATELQ, BOLX[E \TOGO RASSTOQNIQ: R sh > R .

sLU^AJ k = 0 SOOTWETSTWUET TREHMERNOMU EWKLIDOWU PROSTRANSTWU, KOTOROE TAKVE BESKONE^NO PO OB_EMU.

mNOGIE SOOTNO[ENIQ MOVNO ZAPISATX DLQ TREH SLU^AEW EDINYM OBRAZOM. nAPRIMER, FORMULY (25) I (27) PEREPISYWA@TSQ TAK:

10