Файл: Anatolyev-lectures.pdf

– исходная выборка, а l – длина блока. Тогда в первый блок войдут наблюдения

y1; : : : ; yl, во второй – y2; : : : ; yl+1, в третий – y3; : : : ; yl+2, и наконец в T l+1-ый – наблюдения yT l+1; : : : ; yT . При построении псевдовыборки блоки извлекаются случайно с возвращением.

2.Построение псевдовыборки из неперекрывающихся блоков. В данном случае исходная выборка делится на некоторое количество неперекрывающихся блоков. Длина блока, так же как и в предыдущем случае, выбирается исследователем. Пусть исходная выборка состоит из наблюдений fytgTt=1. Тогда в первый блок войдут наблюдения y1; : : : ; yl, во второй – yl+1; : : : ; y2l, и нако-

нец, в последний -ый блок – наблюдения yl[Tl ] l+1; : : : ; yl[Tl ]. При построении псевдовыборки блоки извлекаются случайным образом с возвращением.

3.Построение стационарной псевдовыборки. Предыдущие два варианта построения псевдовыборки, как правило, нарушают стационарность ряда, т.е. из стационарной исходной выборки получаются нестационарные псевдовыборки. Чтобы получить стационарную псевдовыборку, был предложен способ, основанный на нефиксированной длине блоков. А именно, задается вероятность окончания блока p. Первый элемент псевдовыборки выбирается случайно. Затем с вероятностью (1 p) в текущий блок включается следующий элемент исходной выборки, а с вероятностью p начинается новый блок, первый элемент которого снова выбирается случайно из исходной выборки. Так продолжается, пока в псевдовыборку не будет набрано нужное количество элементов.

IIIОсновные эконометрические понятия

Данный раздел кратко повторяет основные понятия, изученные в курсе статистики и теории вероятностей.

1Условное математическое ожидание

Пусть (X; Y ) – пара случайных величин. Функция совместной плотности распределения

f(X;Y )(x; y) 0

обладает свойством нормировки

Z +1 Z +1

f(X;Y )(x; y)dxdy = 1:

1 1

28

Вероятность для (X; Y ) попасть в прямоугольник [a; b] [c; d] определяется как

Z d Z b

P rfa X b; c Y dg = f(X;Y )(x; y)dxdy:

c a

Маргинальная функция плотности распределения X связана с совместной плотно-

стью (X; Y ) как

Заметим, что функция условного математического ожидания E[Y j X] является случайной величиной (так как X случаен). Имеет место закон последовательных математических ожиданий:

E[h(X; Y )] = E[E[h(X; Y ) j X]];

где h(X; Y ) – произвольная функция от (X; Y ). В случае непрерывных распределений

справедливость этого закона легко показать:

2Предсказывание

Часто в эконометрике встречается ситуация, когда исследователь хочет по переменным X (называемых регрессорами) предсказать значение Y (называемой зависимой переменной). Существует несколько полезных результатов, связанных с такой постановкой задачи.

Теорема. Оптимальным предиктором Y из X в смысле минимизации среднеквадратичной ошибки предсказания является условное математическое ожидание E[Y j X].

29

Доказательство. Пусть g(X) – произвольный предиктор. Тогда среднеквадратичная ошибка предсказания будет выражаться следующим образом:

Заметим, что равенство достигается при g(X) = E[Y jX], т.е. условное математическое ожидание действительно минимизирует среднеквадратичную ошибку предсказания.

Определение. Ошибкой оптимального предсказания называется величина e = Y E[Y jX]:

Ошибка оптимального предсказания обладает следующими свойствами:

E[ejX] = 0 ) E[e] = 0 ) E[eh(X)] = 0:

Отсюда в частности следует, что условное математическое ожидание является несме-

щённым предиктором.

Определение. Линейным предиктором Y по X называется любая линейная функция от X: g(X) = a + bX:

Теорема. Оптимальным линейным предиктором Y по X в смысле минимизации среднеквадратичной ошибки предсказания является наилучший линейный предик-

Отсюда можно получить и из постановки теоремы.

Теорема. Наилучшей линейной аппроксимацией для условного среднего E[Y jX] в

смысле минимизации среднеквадратичной ошибки аппроксимации является наилучший линейный предиктор BLP (Y jX).

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы нужно решить оптимизационную задачу

MSAE = E[(E[Y jX] a bX)2] ! min:

a;b

30

Получим и из постановки предыдущей теоремы.

Определение. Ошибкой наилучшего линейного предсказания называется величина u = Y BLP (Y jX).

Ошибка наилучшего линейного предсказания обладает свойствами

E[u] = 0; E[uX] = 0:

Теорема. Если условное среднее E[Y jX] линейно по X, то E[Y jX] = BLP (Y jX):

3Свойства двумерного нормального распределения

XN( X ; X2 ):

2.Условное распределение Y jX = x нормально:

Из этого свойства также вытекает условная гомоскедастичность и E[Y jX] =

BLP [XjY ]:

3.Если Y и X нескоррелированы (т.е. = 0), то Y и X независимы.

4.Линейная функция от нормальной случайной величины является также нормальной случайной величиной:

Здесь A – 2 2 матрица линейного преобразования.

31