ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.01.2025
Просмотров: 1877
Скачиваний: 1
Heo6xoJ(HMOCTh 3THX ycJioBHii oqeBH)l.Ha, TaK KaK ecmt mo6oe H3 HIIX He BbinOJIHHeTCH, TO IIJIII }~=j=-0, IIJIII MA=i=-0 (MB=/=-0) H paBHOBeCHH
He 6y)l.eT . .Ll.oKaJKeM HX J(OCTaToqnocTb. EcJIH J(JIH )l.aHnoii cHcTeMbi CHJI BbinOJIHHIOTCH TOJibKO rrepBhre )l.Ba H3 ycJIOBHii (30), TO )l.JIH Hee
TaKaH CHCTeMa C11JI, corJiacHo pe3yJibTaTaM, rroJiyqeHHbiM B
§ 15, MOJKeT He HaXO)l.11TbCH B paBHOBeC11H, a HMeTb paBHO)l.eHCTBYIOlll.YIO
R, O)l.HOBpeMeHHO npoxo)l.Hlll.YIO qepe3 ToqKH A H B * (p11c. Ho no TpeTbeMy ycJIOBHIO J(OJIJKHO 6hiTh Rx=~Fkx=O. TaK KaK OCb Ox
rrpoBe)l.eHa He nepneH)l.HKYJIHpHo K AB, TO rrocJie)l.Hee ycJioBHe MOJKeT 6biTh BhinOJIHeHo, TOJibKO KOr)l.a R=O, T. e. KOr)l.a 11MeeT MeCTO paBHo-
secHe. |
<P o p M a |
||
3*. T p e T h H |
y c JI o B H :ii |
p a B H o B e c 11 H |
(ypG8HeHUJl mpex .MO.MeHmoo): OllJl pG8H08eCUJl npOU380ilbHOU nllOCKoii cucme,wbt cull neo6xoou.Mo u oocmamottno, ttmo-
6bl cy.M.Mbt .MoMenmoo ecex amux CUll omnocumeAbHO lll06btX mpex qenmpoo A, B H C, He lleJICawpx na oonou npfl.M,OU, 6btllU pG8Hbt nylllo:
~mA(Fk)=O, ~mB (Fk) = 0, ~me (Fk) = 0. (31)
Heo6xo)l.HMOCTb 3THX ycJIOBHH, KaK H B rrpe- |
||
J(bi)l.yUJ.eM |
cJiyqae, oqeBH)l.Ha • .Ll.ocTaToqHOCTb |
Pnc. 52 |
ycJIOB11H |
(31) CJie)l.yeT 113 TOfO, qTo eCJIII rrpH |
|
O)l.HOBpeMeHHOM BhlllOJIHeHHII 3T11X ycJIOBIIH )l.aHHaH CIICTeMa CIIJI He HaXO)l.HJiaCb 6hi B paBHOBeC11H, TO OHa )l.OJIJKHa 6biJia 6hi rrp11BO)l.IITbCH K
paBHO)l.e:iicTByrom.e:ii, O)l.HoBpeMeHHO rrpoxo)l.HIIJ.eii qepe3 ToqKH |
A, B H |
C, qTo HeB03MOJKHO, TaK KaK 3TH ToqKH He JieJKaT Ha O)l.Hoii |
rrpHMoii. |
CJie)l.OBaTeJibHO, npH BbiiTOJIHeH11H YCJIOBHH (31) HMeeT MeCTO paBHOBeC11e.
Bo BCeX paCCMOTpeHHbiX CJiyqaHX ,H;JIH ITJIOCKOii CHCTeMbl CIIJI nc<lJiyqaiOTCH TpH ycJIOBHH paBHOBeCHH. Y CJIOBIIH (29) cqHTaiOTCH OCHOBHMMH, TaK KaK npH IIOJib30BaHHH IIMII H11KaKHX orpannqeHHH Ha Bhl60p KOOp-
.l{lfHaTHblX OCeH H l{eHTpa MOMeHTOB He HaJiaraeTCH.
EcJIH na TeJIO HapH.D.Y c nJiocxoii: cncTeMoii CHJI F1, F 2, ••• , Fn .n.eiicTsyeT cncreMa JielKaJil,HX B TOM JKe llJIOCKOCTH nap C MOMeHTaMH m 1, m 2, ... , mn, TO npH COCTaBJleHHII ycJiosnii pasHosecnH B ypasHeHHH npoeKu,nii napbl ne soii.n.yT, TaK KaK cyMMa npoeKunil: CHJI napbl Ha JII06yiO OCb pasHa HYJIIO. 8 ypaBHeHHl!X JKe MOMeHTOB K MOMeHTaM CHJI aJire6paH'iCCKH npn6aB5!TC5! MOMeHTbl nap, TaK KaK CYMMa MOMCHTOB CHJI napbl OTHOCHTeJibHO JII060f0 U,eHTpa p.aBHa MOMeHTY napbl [§ 9, cpopMyJia (15)]. TaKHM o6- pa30M, HanpHMep, ycJIOBHlil paBHOBeCI15! (29) npH i{eHCTBHH Ha TCJIO CHCTeMbl CHJI H nap npHMYT BHJ{:
~Fkx=O, ~Fky=O, ~mo (Fk) +~mi=O. |
(32) |
AnaJiornqno npeo6paayroTCH s 9TOM cJiyqae yCJioBHH (30) n (31),
PaBHoBecHe rrJIOCKofl cHcTeMbi napaJIJieJib- H hi X C II JI. B CJiyqae, KOr)l.a BCe )l.eHCTBYIOIIJ.He Ha TeJio CHJ!bl rrapaJIJieJihHbl )l.pyr )l.pyry, MOJKHo HarrpaB11Tb ocb Ox rreprreHJ(HKy.rmpno CH-
* npn MA=O CHCTeMa CHJI MOJKeT llMeTb paBHO~HCTBYIOlUYIO, npoXO)l;lllUYIO qe- 1'e3'lO'iKYA, a npn MB=0- npoxo;u.HlUYIO >repe3 TO'iKYB.
47
§30. PABHOBECHE fiPOH3BOnbHOA fiPOCTPAHCTBEHHOA CHCTEMbl CHn. tnYl.JAA fiAPAnJIEJibHbiX CHJI
Heooxo)I,I1Mhre 11 ,!I,OCTaTO'lHhieyc.JIOBI1H paBHosecHH .JII06oii crrcTeMbl
CHJI |
Bbrpa)KaiOTCH |
paseHCTBaMI1 R=O, M 0 =0 (eM. § 13). Ho seKTOphl |
R 11 |
M0 paBHhl |
Hy.JI!o TOJibKO TOr)I,a, KOr)I,a Rx=Ry=Rz=O 11 Mx= |
=My=Mz=O, T. e. KOr,!l,a )I,eikTByiOIU!fe CI1Jlhl, COr.JiaCHO cpopMy.JiaM
(49) 11 (50), oy,!l,yT y,!I,OBJleTBOpHTb YCJIOBIIHM:
~FI<x=O, ~ ~ky=O, ~~kz=O; |
} |
||
- |
- |
- |
(51) |
~ mx (Fk) = 0, |
~my (Fk) = 0, |
~mz (Fk) = 0. |
|
TaK!IM oopa30M, 0/lJl pa8H08eCUJl npou380/lbHOii npocmpaHcmeeHHOii cucmeMbt cull Heo6xoouMo u oocmamoliHo, qmo6bt cyMMbt npoeKI{Uii ecex
79
CU.~ Ha Ka:JICOYIO U3 mpex KOOpOUHamHblX oceii U cy.MMbl UX MOMeHmOB omHocume!lbHO amux oceil 6bt/lU paeHbt HY!liO *.
PaseHCTsa (51) BbrpmKaiOT O,!I,HospeMeHHO yc.JioBHH paBHOBeCIIH Tsep- ,!I,Oro Te.Jia, HaXO)J,RIIJ.erocH no)I, )I,eiicTBIIeM mo6otr npocTpancTBemrofr
CHCTeMbl CIIJI.
Ec.JIII Ha TeJIO KpoMe cii.JI )I,ei\crsyeT erng napa, 3a)I,aHHaH ee MOMeH-
TOM m, TO npu 3TOM BIJ)I, nepBbiX Tpex H3 YCJIOBHH (51) He li3MeHHTC5I (cyMMa npoeKuuii: CHJI rrapbi na .JII06y!O och pasna HYJI!O), a noc.Jie)J,l!He
TPH yc.JIOBHH rrpHMYT BU)I,:
~mx (Fk) +mx= 0, ~my (Pk) +my= 0, ~ mz (Fk)+mz=O. (52)
Случай параллельных сил
В качестве произвольной пространственной системы сил рассмотрим си-
стему параллельных сил.
В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу и одной из координатных осей (например – оси Z), то условие равновесия, в частности, будет иметь вид: ΣFkz = 0; Σmy (Fk) = 0; Σmx (Fk) = 0.
Система имеет равнодействующую, приложенную в т. С – центр II-ных сил.
Найдем координаты этого центра.
Пусть в произвольной системе координат в точках с координатами A1 (X1, Y1, Z1), A2 (X2, Y2, Z2), … , C (Xc, Yc, Zc) приложены силы F1 , F2 , … , Fk , …, Fn и
R .
Произвольная система параллельных сил
Применив к ним теорему Вариньона, запишем my ( R ) = Σmy ( Fk );
но my ( R ) = R ·Xc; my ( F1 ) = F1 ·X1, my ( F2 ) = F2 ·X2 , … , my ( Fk ) = Fk ·Xk;
тогда:
RXc = F1X1 + F2 X2 + … + Fn Xn = Σ Fk Xk Xc = R1 Fk X k ;
Аналогично:
RYc = F1Y1 + F2 Y2 + … + Fn Yn = Σ Fk Yk Yc = R1 Fk Yk ; RZc = F1Z1 + F2 Z2 + … + Fn Zn = Σ Fk Zk Zc = R1 Fk Z k .
На этих формулах основано определение координат ц.т. тела если принять приложенные к телу параллельные силы за силы тяжести частей тела – как част-
ный случай произвольной пространственной системы II сил, заменив систему сил
Fk на силы pk .
Равнодействующая сил тяжести частиц тела p1 , p2 , … pn равна P . Модуль этой силы – вес тела, т.е. Rp = P = Σpk. Точка приложения силы P (равнодейству-
ющая сил pk ), точка Ср – центр параллельных сил тяжести частей тела, или ц.т.
тела.
Система параллельных сил тяжести
n |
||||||||
Поэтому P · Xc = p1X1 + p2X2 + … pnXn = pk X k , т.е. координаты ц.т. тела |
||||||||
k 1 |
||||||||
определяются по формулам: |
||||||||
1 |
n |
1 |
n |
1 |
n |
|||
Xc = |
pk X k , Yc = |
pk Yk , |
Zc = |
pk Z k |
||||
P |
P |
P |
||||||
1 |
1 |
1 |
||||||
C Jl y q a :H n a p a JI JI e JI h H bi x c rr JI. B c.Jiyqae, KOr,!l,a Bee
)I,ei.icTBYIOIUHe Ha Te.JIO CH.Jlbl napa.JI.JieJibHbl ,!l,pyr ,!l,pyry, MOJKHO Bhl6parh KOOp,!I,HHaTHbie OCII TaK, qTO OCb Z 6y,!l,eT napa.JI.JieJibHa CHJiaM (puc. Tor}l,a npoeKUHll Ka)K)I,Ollll3 CHJI Ha OCH X ll y H HX MOMeHTbl OTHOCHTeJib-
z |
HO OCH Z 6y,!l,yT paBHbl Hy.'IIOH CHCTeMa |
(51) |
||
)I,aCT Tpli yc.JIOBHH paBHOBeCUH: |
||||
~Fkz=O, ~mx(Fk)=O, ~my(Fk)=O. (53) |
||||
!J |
0cTa.1JbHbie paBeHCTBa |
OOpaTHTCH |
npH |
|
3TOM B TOM)I,eCTBa BH)I,a 0=0. |
||||
C.Jie,li.OBaTeJihHO, O/lJl paeHoeecuJL npocmpa.'-1.- |
||||
cmeeHHoil cucmeMbt napa!l/leAbHbtX cull Heo6- |
||||
xoouMo U OOCmamQiiHO, lim06bt cyMMa npoeK- |
||||
PHC. 96 |
[\UU ecex CU/l Ha OCb, napa!l/le/lbHYIO CU!la.M, U |
|||
CYMMbl UX MOMeHmOB OmHocume/lbHO OBYX ()py- |
||||
p e ill e H H e 3 a }1, a |
eUX KOopouHamHblX oceu 6bt/lU paeHbl HY/l/0. |
|||
'I. DopH,ll;OK pemeHH5! 3a)I,aq |
3)I,eCb OCTaeTCR |
|||
TeM iKe, 'ITOu s c.Jiyqae IIJIOCKoil CHCTC:\lhi'CHJI.YcTaHOBHB, paBHOBecue KaKoro TeJia (o6beKTa) paccMaTpusaeTcH, Ha)I,o u3o6pa3HTh Bee )I,eikrsyiOill.He Ha Hero BHeUIHHe CIIJlbl (H 3a,ll.aHHbie, H peaKUHH CBH3e:fi) li COCTaBHTb YCJIOBHH paBHOBeCHH 3THX CHJI. l13 IIO.JiyqeHHbiX ypaBHeHHll li onpe,ll.eJI.HIOTCH HCKOMhie BeJIH'IHHbi.
,U.JIH no.JiyqenrrH 6o.Jiee rrpocTbiX cucTeM ypaBHeHuil peKoMeH,!I,yeTcH OCli npOBO)I,HTb TaK, qTOObl OHH rrepeceKaJIH OOJlbllle HeH3BeCTHbiX CHJI HJIH 6hl.JIH HM nepneHJI.HKY.JIRpHhl (ecJirr 3TO TOJihKO H3.Jiumne He yc.Jio?K- HHeT Bb!llliCJieHHH rrpoeKUHH H MOMeHTOB JI.pyrux CHJI).
HoshlM 3JieMeHTOM B cocraBJieHHH ypasHeHu:H RBJIHeTCH Bhl'lHCJieHlie MOMeHTOB CHJI OTHOCHTeJibHO KOOpJI.HHaTHbiX OCeH.
B CJiyqaHX, KOrJI.a us oollJ,ero qepTeiKa TPYJI.HO ycMoTpeTb, 'IeMypaBeH MOMeHT )I,aHHOll CHJibi OTHOCHTeJibHO KaKOll-HHOYJI.b OCH, peKOMCH- ,!I,yeTCH H300pa3HTb Ha BCllOMOraTeJibHOM qepTeiKe IIpOeKUHIO paCCMaTpHBaeMOfO Te.Jia (BMeCTe C CHJIOH) Ha II.'IOCKOCTb, rreprreH)I,llKYJIHpHy!O
.9TOH OCH.
* Ilpa COCTaBJICHHK ycJIOBHH (51) MOJKHO, CCJIH 3TO ll.CJICC006pa3HO, 6paTb )!Jill Bbi'IHCJICHHHnpoCKUHH O,ZJ.HY CHCTeMy KOOp,!!_HHaTHb!X Ocei1, a Jf.JIH Bbl'IHCJICHHHMOMCII·
TOB - .ll.p yryJO.
so