Файл: МАТАН: Дифференциальные уравнения.pdf

8

u +1 = Cx . u + 2

Избавляясь от знака модуля, получаем

u +1 = Cx . u + 2

Поскольку u = xy , то полученное соотношение может быть

представлено в виде

y + x = Cx . y + 2x

Заметим, что в уравнении dudx = 1x (u 2 +3u + 2) , выражение

при u1 = −1, u2 = −2 . Следовательно, функции являются решениями дифференциального уравнения для

неизвестной функции u(x) , а значит, функции y = −x и y = −2x являются решениями исходного дифференциального уравнения.

Решение y = −x содержится в решении yy++2xx = Cx , если положить С=0.

Ответ: yy++2xx = Cx , y = −2x , где С – произвольная постоянная.

Задача 6. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

dy = y + y . e x

dx x

Поскольку данное уравнение является однородным, то неизвестную функцию y(x) будем искать в виде y = xu . Тогда y′ = u + xu′. Подставляя y и y′в исходное уравнение, получаем:

u + x dudx = eu +u .

Полученное уравнение преобразуем к виду dudx = 1x eu

Разделяем переменные e−u du = dxx

Интегрируем правую и левую части

∫e−u du = ∫dxx +C .

Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

−e−u = ln x +C .

8

9

Поскольку u = xy , то полученное соотношение может быть

представлено в виде

−e− xy = ln x +C .

Ответ: e− xy +ln x +C = 0 , где С – произвольная постоянная.

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

y′ = x2 +3xy − y2 . 3x2 −2xy

Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию y(x) в виде y(x) = xu(x) . Тогда

y′ = u + xu′. Подставляя y и y′ в исходное уравнение, получаем:

xu′+u = 1+3u −u2 .

3 −2u

Данное уравнение преобразуем к виду

xu′ = 1+u2 .

3 −2u

Поскольку правая часть не равна нулю ни при каких значениях y , то, разделяя переменные, получаем

Интегрируя, имеем

∫31+−u2u2 du = ∫dxx +С.

= 3arctgu −ln(u2 +1) .

После вычисления интегралов получаем

3arctgu −ln(u2 +1) = ln x +C .

9

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Определение. Линейным дифференциальным уравнением

первого порядка называется уравнение, которое может быть записано в виде

dydx + P(x) y = Q(x) ,

где Р(х) и Q(х) – известные функции.

Можно предложить следующий метод решения этого уравнения. Неизвестную функцию y(x) будем искать в виде

y = uv , где u(x) неизвестная функция, а v(x) - некоторая функция, выбранная специальным образом. (Способ выбора v(x) будет

(Это уравнение для определения функции v(x) является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое либо частное решение не тождественно равное нулю). Тогда для определения u(x) имеем уравнение u′v = Q(x) . Из этого уравнения при известной функции v(x) находим u(x) :

u(x) = ∫Qv((xx)) dx +C ,

где С – произвольная постоянная.

10

11

Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать y

Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

dydx −4x3 y = 2xex4 .

Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать y в виде y = uv . Тогда y′= u′v +uv′. Подставляя y и y′ в

исходное уравнение, получаем: u′v +uv′ −4x3uv = 2xex4 ;

u v′−4x3v +u′v = 2xex4 .

Выберем функцию v(x) из условия dvdx −4x3v = 0 . Уравнение для функции v(x) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: dvdx −4x3v = 0 , dvv = 4x3dx ;

∫dvv = ∫4x3dx ; ln v = x4 ; v = ex4 .

Найдем функцию u(x) : u′ex4 = 2xex4 ; u′ = 2x ; u = ∫2xdx ; u = x2 +C . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

11