Файл: МАТАН: Дифференциальные уравнения.pdf

17

то есть в данное уравнение явно не входят неизвестная функция и производные этой функции до порядка k-1 включительно. Введем новую неизвестную функцию z(x) = y(k ) (x) . Производные функции y(x) выразятся через производные функции z(x) следующим образом: y(k +1) = z′,…, y(n) = z (n−k ) . Подставляя в исходное уравнение, получаем F (z (n−k ) , z (n−k −1) ,...z′, z, x)= 0 . Полученное уравнение для функции z(x) является уравнением более низкого порядка. Если функция z(x) определена, то функция y(x) определяется интегрированием соотношения y(k ) (x) = z(x) .

Задача 14. При x>0 найти общее решение дифференциального уравнения

2xy′′′ = y′′.

Это уравнение явно не содержит y и y′. Обозначим y′′ = z . Тогда: y′′ = z , y′′′ = z′. Подставляя в исходное уравнение, получаем

2xz′ = z .

Уравнение для определения функции z(x) является уравнением с

Обозначим C3 = 154 C .

Ответ: y = C3 x2 x +C1 x +C2 , где C3 ,C1 ,C2 - произвольные

постоянные.

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения

(1+ x2 ) y′′+ 2xy′ = x3 .

Данное уравнение не содержит явно неизвестную функцию y . Введем новую неизвестную функцию z = y′. Тогда y′′ = z′ и уравнение преобразуется к виду

(1+ x2 )z′+ 2xz = x3 .

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать z в виде z = uv . Тогда y′ = u′v +uv′. Подставляя y и y′ в исходное уравнение,

получаем:

17

окончательный ответ может быть записан в виде

y = 121 x3 − 14 x +C1arctgx +C2 . Ответ: y = 121 x3 − 14 x +C1arctgx +C2 .

18

19

Второй тип уравнений, допускающих понижение порядка, - это уравнения, которые явно не содержат независимую переменную x . (Мы будем рассматривать только уравнения второго порядка, однако предложенный метод применим и для уравнений более высокого порядка.) Пусть дано уравнение вида

F ( y′′, y′, y) = 0 .

Будем искать производную y′как функцию y в виде y′ = p( y) , где p( y) - неизвестная функция. Тогда

y′′= dxd p( y) = dpdy dydx = p′p .

Подставляя y′′ и y′в исходное уравнение, получаем

F ( p′p; p; y) = 0 .

Полученное уравнение является уравнением первого порядка для функции p( y) . Если нам удастся найти функцию p( y) , то для определении y имеем уравнение y′ = p( y) , которое является уравнением с разделяющимися пере6менными.

Замечание. При изложенном методе могут быть потерянны решения p( y) = 0 , то есть y = const . Поэтому такие решения рекомендуется выписывать отдельно.

Задача 16. Найти решение задачи Коши:

19

20

Ответ: y = −8x1−1 .

Задача 17. Найти решение задачи Коши:

y′′ = 6 y2 , y(2) = 14 , y′(2) = −14 .

Будем искать y′ в виде y′ = p( y) . Тогда y′′ = p′p . Подставляя y′′ и y′ в исходное уравнение, получаем

p′p = 6 y2 .

Полученное для p( y) уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение:

положительное число. Неизвестную функцию y(x) определяем

20