ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.03.2025
Просмотров: 195
Скачиваний: 1
4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
«Дискретные и непрерывные случайные величины»
Оглавление
Цель 1
Дискретные случайные величины 1
Непрерывные случайные величины 3
Биноминальное распределение 5
Распределение Пуассона 7
Геометрическое распределение 7
Гипергеометрическое распределение 9
Нормальное распределение 11
Равномерное распределение 13
Показательное распределение 13
Контрольные задания 13
Цель
Целью лабораторной работы №4 является знакомство с возможностями программы Maple для расчеты распределения случайной величины по условию задачи, по нахождению ее числовых характеристик, таких как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. .
Дискретные случайные величины
Определение.
Случайной величиной
называется величина, которая в результате
опыта, принимает числовое значение,
являющееся случайным событием этого
опыта. Множество всех таких значений
будем называть множеством возможных
значений случайной величины
Определение.
называется
функцией распределения случайной
величины
.
Свойства функции распределения:
1)
0<=
<=1;
2)
P{
<=
<
}=
-
;
3)
<=
,
если
<
;
4)
(-
)=0,
(+
)=1.
5)
P(
=
)
=
Определение.
Рядом (или законом распределения)
дискретной случайной величины
называют таблицу, в первой строке которой
возможные значения
,
а во второй - соответствующие вероятности
=P{
=
};
=1.
Характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.
Определение.
Средним значением, или математическим
ожиданием дискретной
случайной величины
называют
M[
]=
(1)
Свойства математического ожидания:
1) M[C]=C, где С - const;
2)
M[C
]=CM[
];
3)
M[
]=M[
]+M[
],
где
и
-
любые случайные величины;
4)
M[
]=M[
]
M[
],
если
и
-
независимые случайные величины.
Случайные
величины
и
называются независимыми,
если для любых x и y имеет место равенство
F(x,y) =
,т.е. P({
<x,
<y})=P({
<x})P({
<y}).
Модой
(
)
дискретной случайной величины называется
ее наиболее вероятное значение.
Начальные
и центральные моменты k-го порядка
случайной величины
определяются соответственно формулами:
=M[
]
и
=M[
].
Если
дискретная случайная величина, то
=
,
=
.
Первый
начальный момент
является
математическим ожиданием случайной
величины
Второй
центральный момент
является дисперсией случайной величины
:
D[
]=M[
]=
(2)
Для вычислений удобна следующая формула:
=M[
]-
.
Свойства дисперсии:
1) D[C]=0, где C-const;
2)
D[C
]=
D[
];
3)
если
и
- независимые случайные величины, то
D[
+
]=D[
]+D[
].
Непрерывные случайные величины
Пусть
- непрерывная случайная величина и ее
функция распределения
непрерывна
на множестве действительных чисел.
Определение.
Плотностью вероятности назовем функцию
=
Свойства плотности вероятности:
1)
>=0;
2)
=1;
3)
=
4)
P{
<
<
}=
Непрерывная
случайная величина задается либо
функцией распределения
,
либо плотностью вероятности
.
Заметим, что функцию
называют еще плотностью распределения
случайной величины
.
Определение.
Средним значением, или математическим
ожиданием
непрерывной случайной величины
называют число
M[
]=
, причем предполагается, что интеграл
сходятся абсолютно.
Определение.
Дисперсией
случайной величины
называется число
D[
]=M[
]
Для непрерывной случайной величины дисперсию можно найти по формуле
D[
]=
,
причем предполагается, что интеграл
сходятся абсолютно.
Начальные
и центральные моменты k-го порядка
случайной величины
определяются соответственно формулами:
=M[
]
и
=M[
].
Если
непрерывная случайная величина, то
=
=
Первый
начальный момент
является
математическим ожиданием случайной
величины
Второй
центральный момент
является дисперсией случайной величины
:
Заметим,
что размерность величин
и
совпадает с размерностью самой случайной
величины
,
а размерность
равна квадрату размерности
.
Биноминальное распределение
Определение. Биномиальное распределение — распределение количества наступлений события A в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность наступления события A в каждом из них постоянна и равна p.
Формула Бернулли является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Таблица №1
|
Математическое ожидание |
np |
|
Дисперсия |
npq |
Задача №1.
Стрелок стреляет 9 раз по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле Написать в виде теблицы (матрицы) закон распределения случайной величины X – число попаданий по мишени. Проверить, что сумма всех вероятностей в таблице равна 1. Найти по формулам (1) и (2) математическое ожидание и дисперсию. Подтвердить полученные результаты по формулам из таблицы №1. Найти среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что стрелок попадет более 5 раз по мишени.
Решение.
Формула Бернулли:
>
Матрица распределения:
>
Проверим, что сумма всех вероятностей во второй строке равна 1.
>
Найдем математическое ожидание:
>
>
По формуле: результат подтверждается.
Найдем дисперсию:
>
>
По формуле: результат подтверждается.