Найдем среднее квадратическое отклонение:

>

>

Вероятность того, что стрелок попадет более 5 раз равна:

>

>

76, 16%.

Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа (см. Лабораторную работу № 3). Однако эта формула не пригодна, если вероятность события мала (npq<9). В этих случаях прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Данное распределение в лабораторной работе №4 не будет рассматриваться, так как возможности математического пакета Maple позволяют рассчитывать вероятность непосредственно по формуле Бернулли при ОЧЕНЬ больших n и при ОЧЕНЬ малых p , как собственно и стандартный калькулятор встроенный в программу Windows. А расчеты по прямой формуле имеют гораздо меньшую погрешность, а значит и большую ценность, чем по асимптотическим. Данный вопрос вынесен на практические занятия.

Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p (0<p<1) и, следовательно, вероятность его непоявления Испытания заканчиваются как только появляется событие A. Таким образом, если событие A появилось на k-м испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которое нужно провести до первого появления события A. Возможные значения X – весь натуральный ряд. Вероятность рассчитывается по формуле:

Таблица №2

Математическое ожидание
Дисперсия

---

Задача №2.

Из орудия производится стрельба до первого попадания. Вероятность попадания в цель X – дискретная случайная величина числа испытаний. Составить таблицу (матрицу) распределения для X=1,2,…10. Найти по формулам (1) и (2) математическое ожидание и дисперсию. Подтвердить полученные результаты по формулам из таблицы №2. Найти среднее квадратическое отклонение. Сколько раз надо сделать выстрелов, чтобы с вероятностью 0,999 попасть по мишени?

Решение:

Вероятность будет рассчитываться по формуле:

>

Составим первые 10 столбцов таблицы (матрицы) распределения. Очевидно, что вся таблица – бесконечна.

>

Убедимся, что сумма всех вероятностей во второй строке распределения равна 1, для этого составим ряд:

>

Найдем математическое ожидание:

>

По формуле: результат подтверждается.

Найдем дисперсию:

>

D=0.56

По формуле: результат подтверждается.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

>

>

Ответим на вопрос сколько раз надо сделать выстрелов, чтобы с вероятностью 0,999 попасть по мишени

>

Вызовом контекстного меню, решаем данное неравенство :

>

Итак, уже при шести выстрелах, вероятность поражения хотя бы один раз мишень достигнет 0,999.

Гипергеометрическое распределение

---

Задача. Пусть в группе N студентов из них M отличники (M<N). Из группы случайно отбирают n студентов для прохождения тестирования (каждый студент может быть отобран с одинаковой вероятностью). Обозначим через Х случайную величину – m отличников среди n отобранных. Очевидно, возможные значения X таковы: 0,1,2…, min(M,n).

Искомая вероятность события X=m

Эта формула определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Таблица №3

Математическое ожидание
Дисперсия
Мода

Задача №3

Пусть в группе 30 студентов из них 9 отличники. Из группы случайно отбирают 4 студента для прохождения тестирования (каждый студент может быть отобран с одинаковой вероятностью). Обозначим через Х случайную величину – m отличников среди 4 отобранных. Найти по формулам (1) и (2) математическое ожидание и дисперсию. Подтвердить полученные результаты по формулам из таблицы №3. Найти среднее квадратическое отклонение. Найти наивероятнейшее число отличников, попавших на тестирование.

Решение.

Вероятность того, в отобранную группу попадут n отличников рассчитаем по формуле:

>

Таблица (матрица) распределения будет иметь вид:

>

Проверка:

>

Математическое ожидание

>

По формуле: результат подтверждается.

Найдем дисперсию:

>

>

---

По формуле: результат подтверждается:

>

Найдем среднее квадратическое отклонение:

>

>

Найдем наивероятнейшее число отличников, попавших на тестирование по таблице распределения – это один.

Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Таблица №4

Математическое ожидание
Дисперсия

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

-отклонение при стрельбе.

-погрешности измерений (однако погрешности некоторых измерительных приборов имеют не нормальные распределения).

-некоторые характеристики живых организмов в популяции.

-исследование свойств личности человека в психологии и психиатрии.

Задача №4

Конфеты, изготовляемые на конвейере фабрики, считаются годными, если отклонение диаметра конфеты от проектного размера не превышает 2мм. Случайные отклонения диаметра конфет подчиняется нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием m=0. Сколько годных конфет изготовляет фабрика? Дать графическую интерпретации решению задачи.

Решение.

>

>

---

Фабрика изготовляет 78,87% годных конфет.

>

Равномерное распределение

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Плотность вероятности равномерного распределения

Таблица №5

Математическое ожидание
Дисперсия

Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается:

где λ>0.

Таблица №6

Математическое ожидание
Дисперсия

Контрольные задания

• Оформите титульный лист к лабораторной работе, согласно требованиям СФМЭИ (ТУ). Укажите название лабораторной работы. Фамилию, Имя, группу, номер студента в журнале (см. Приложение 1).

• Создайте документ Maple. Напишите заголовок 14 кеглем, полужирно, с выравниванием по центру: «Лабораторная работа №_». Далее с выравниванием по правому краю, курсивом, 14 кеглем укажите полностью Фамилию, Имя, номер в журнале.

• Выполните задания из своего варианта, определяемого номером в журнале. Каждое задание должно быть оформлено в отдельной секции (пиктограммы ) с заголовком «Задание №_». Завершать секцию должен развернутый ответ.

• Распечатайте лабораторную работу из под программы Maple на листах формата А4 (односторонняя печать).

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

---

Смотрите также файлы

• energy-the-bot.pdf

• РЕФЕРАТ (Санитарно-защитные зоны рассеяния в атмосфере вредных веществ).docx

• Dinamikamawin.docx

• Delovaya_etika_lektsii.docx

• Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf