ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2025
Просмотров: 175
Скачиваний: 1
8
8. Динамика популяций "хищник жертва".
Остапенко Дмитрий
Модель Холлинга Тэннера описывает взаимодействие популяций хищников и жертв и представляет собой следующую систему ОДУ.
8dt |
= r |
1 K |
x D + x; |
||||
dx |
x |
!xy |
|||||
> |
|||||||
> |
|||||||
< |
|||||||
dy |
= S |
1 |
Jy |
y; |
|
>dt |
x |
||||
> |
|||||
:
Здесь x, y численность популяций жертв и хищников, J количество жертв, необходимое для насыщения одного хищника, r, K, S, D коэффициенты прироста и внутривидового влияния. Все коэффициенты положительны.
1.Найти (аналитически) стационарные решения системы.
2.Вывести расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности
ñпараметрами 1 = 0, 2 = 0:4, 3 = 0:5.
3.С помощью построенного метода найти численное решение задачи Коши при различных начальных данных и различных значениях коэффициентов с
заданной точностью ".
4. Построить графики зависимости решения x(t) и y(t), а также фазовый портрет системы (в переменных x, y). Также обозначить на графиках стационарное решение.
5.Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.
6.Изобразить на плоскости (X0; Y0) начальных значений численности попу-
ляций (x(0) = X0, y(0) = Y0) примерную границу области, внутри которой изменения численности носят периодический характер.
9
9. Динамика конкурирующих популяций.
Мазаева Элина
Динамика численности двух видов, потребляющих (конкурирующих за) один и тот же ресурс, описывается следующей системой дифференциальных уравне-
íèé. |
8dt |
= x (r1 k1x a2y); |
||
> |
dx |
|||
dy |
||||
< |
= y (r2 k2x a1y); |
|||
Здесь x, y численность |
dt |
|||
> |
ri коэффициент прироста i-го вида, ki |
|||
: |
||||
популяций,
коэффициент, описывающий внутривидовое влияние, ai коэффициент, описы- вающий влияние со стороны другого вида. Все коэффициенты положительны.
1.Вывести расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности
ñпараметрами 1 = 0, 2 = 0:6, 3 = 1.
2.С помощью построенного метода найти численное решение задачи Коши при различных начальных данных и различных значениях коэффициентов ri,
ki, ai.
3.Построить графики зависимости решения x(t) и y(t), а также фазовый портрет системы (в переменных x, y).
4.Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.
5.Изобразить на плоскости (X0; Y0) начальных значений численности попу-
ляций (x(0) = X0, y(0) = Y0) примерную границу области, внутри которой
численность первой популяции стремится со временем к нулю (популяция вымирает).
10
10. Концентрация озона в атмосфере.
Фитискин Иван
Генерация и распад трехатомного кислорода (озона) в нижних слоях тропосферы осуществляется по следующей схеме.
k1 |
||||||
O + O2 ! O3; |
||||||
k2 |
||||||
O + O3 ! 2O2; |
||||||
k3 |
(t) |
|||||
O2 ! 2O; |
||||||
k4 |
(t) |
|||||
O3 ! O + O2; |
||||||
Над стрелками надписаны коэффициенты скоростей соответствующих реак- |
||||||
öèé, |
которые равны k1 |
= 1:63 10 16 ñì3=c, k2 |
= 4:66 10 16 ñì3=c, |
|||
ki |
= |
8exp ( ci= sin !t) ; |
sin !t > 0 |
(i = 3; 4) ñì3=c; ! = =43200, c3 = 22:62, |
||
= |
<0; sin !t 0 |
|||||
c |
4 |
: |
||||
7=601, t время в секундах (t = 0 соответствует рассвету усредненного |
||||||
12-ти часового дня). |
||||||
Пусть x(t), y(t) и z(t) концентрация O, O2 è O3 |
соответственно в момент |
|||||
времени t. Их изменение со временем описывается следуюшей системой ОДУ, для которой ставится задача Коши.
8dt |
= k1xy k2xz + 2k3(t)y + k4(t)z; |
|||||||||||
> |
dx |
|||||||||||
dy |
||||||||||||
> |
= k1xy + 2k2xz k3(t)y + k4(t)z; |
|||||||||||
>d |
t |
|||||||||||
> |
||||||||||||
> |
||||||||||||
>d |
z |
|||||||||||
> |
||||||||||||
> |
||||||||||||
< |
= k1xy |
k2xz |
k4(t)z; |
|||||||||
>dt |
6 |
16 |
12 |
|||||||||
>x(0) = 10 ; |
y(0) = 3:7 10 |
; z(0) = 10 |
: |
|||||||||
> |
||||||||||||
> |
||||||||||||
>
>
>
>
:
1.Найти решение с помощью явного и неявного методов Эйлера, оценить погрешность (по Рунге) полученных решений.
2.Вывести графики зависимости решения x(t), y(t), z(t).
3.Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.
11
11. Распространение звука в воде.
Петров Алексей
Распространение волн в среде, в которой скорость распространения колебаний переменна описывается следующей задачей Коши
>
> = ;
>
>d x2 A2c3(z)
>
<
z(0) = z0;
>
>
>
>d z
>
:d x(0) = tg 0:
A = cos 0 ; c(z0)
В ней z(x) глубина положения фронта волны ( z = 0 соответствует поверхности, ось z направлена вниз), x положение фронта в горизонтальном на- правлении, 0 угол испускания волны по отношению к горизонту. Скорость распространения волн c(z) в морской воде задается следующей таблицей
z (ôóòû) |
c(z) (ôóò/ñ) |
z (ôóòû) |
c(z) (ôóò/ñ) |
z (ôóòû) |
c(z) (ôóò/ñ) |
||
0 |
5.042 |
3000 |
4.865 |
8000 |
4.918 |
||
500 |
4.995 |
3500 |
4.869 |
9000 |
4.933 |
||
1000 |
4.948 |
4000 |
4.875 |
10000 |
4.949 |
||
1500 |
4.887 |
5000 |
4.875 |
11000 |
4.973 |
||
2000 |
4.868 |
6000 |
4.887 |
12000 |
4.991 |
||
2500 |
4.863 |
7000 |
4.905 |
||||
1. Реализовать две процедуры восстановления значений функции c(z), ис-
пользуя локальный сплайн первого порядка (в первой) или кубический сплайн дефекта 1 с условием отсутствия узла (во второй).
2. Реализовать адаптивную процедуру на основе метода Рунге-Кутты 4 порядка для решения поставленной задачи Коши с указанной пользователем точ-
ностью.
3. Для начальных значений 10 < 0 < 10 с шагом = 1 построить таблицу значений z(xM ; 0), ãäå z0 = 2000 футов, xM = 24 ìèëè (1 ìèëÿ = 6076
футов) с пятью верными знаками после запятой. Ответ перевести в метры и выдать только верные цифры.
4. Пусть на глубине 12000 футов находится дно, которое поглощает все звуко-
вые волны, а на поверхности происходит полное отражение звуковой волны (по законам геометрической оптики). Для начальных значений 10 < 0 < 10 ñ
шагом = 1 построить графики траекторий звуковых лучей. Расчеты производить с заданной пользователем точностью.