Файл: KursRab_A_13_11__001.pdf

12

12. Маятник Фуко.

Корнева Любовь

Рассмотрим сферический маятник массы m и длины l (достаточно большой),

совершающий малые колебания вблизи поверхности Земли, с учетом ее вращения (маятник Фуко). Введем декартову систему координат в плоскости, касательной к поверхности Земли в точке подвеса, эта точка будет началом ко-

широте ' (на которой подвешен маятник).

Если пренебрегать изменениями высоты тела в виду малости колебаний (по сравнению с длиной подвеса l), то для положения маятника в плоскости Земли

x(t), y(t) получается система уравнений

8

<

>x00 = gx 2! sin ' y0;

l

:

>y00 = gy 2! sin ' x0:

l

Будем рассматривать два варианта движения.

А) В начальный момент времени маятник отклонен от положения равновесия íà óãîë 0 и свободно отпускается.

В) В начальный момент времени маятник находится в положении равновесия (угол отклонения 0 = 0) и ему сообщается начальная скорость v0, направлен- ная вдоль оси X.

1. Составить эквивалентную систему ОДУ первого порядка, поставить для нее задачу Коши. Решить численно полученную задачу, построить графики зависимости решения от времени, а также фазовый портрет в переменных (x; y).

Вычисления следует проводить до заданного момента времени T . При этом конечное положение (x(T ); y(T )) должно вычисляться с точностью не хуже

"x = 0:001.

2.Построить график зависимости координат от времени, а также фазовый портрет системы в переменных (x; y).

3.Определить начальные условия 0 6= 0 è v0, при которых маятник будет проходить через точку равновесия.

13

13. Нелинейное уравнение переноса

Подольский Илья

В первом координатном угле рассматривается уравнение

@u@t + u@u@x = 0;

которое дополняется начальными и краевыми условиями ujt=0 = '(x); x 0; ujx=0 = (t); t 0:

Реализовать следующие три разностные схемы для решения поставленной задачи

Здесь Uij есть приближенное (вычисляемое) значение точного решения u(xi; tj). Предусмотреть возможность пошагового вывода графика решения на каждом

временном слое, а также вывод в режиме анимации. [4, стр. 334-50, стр. 363-66; 2, стр. 524-27]

Для тестирования и отладки алгоритмов следует построить несколько тестовых примеров. Для этого необходимо ввести в уравнение правую часть f(x; t) и ее аппроксимации Fij во всех рассматриваемых разностных схемах.

14

Часть III Динамический хаос

Следующие четыре задания связаны с исследованием динамических систем,

âкоторых возможно проявление так называемого динамического хаоса. Во всех варантах следует

1.Поставить задачу Коши для заданной системы ОДУ. Для этого задать произвольные начальные данные.

2.Решить численно полученную задачу методом Рунге-Кутты 4-го порядка, построить графики зависимости решения от времени, а также фазовый портрет

решения (т.е. графики в переменных (x; y), (x; z), (y; z)). Вычисления вести до заданного момента времени T .

3. Экспериментально исследовать полученное решение на устойчивость. Для этого внести в начальные данные погрешность 0 и заново решить систему ОДУ

на том же временном интервале. Вычислить норму разности исходного и вновь полученного возмущенного решений (отдельно для каждой компоненты решения). Изобразить на одном и том же координатном пространстве графики исходного и возмущенного решений.

4. Выполнить дополнительное задание.

15

14. Система Хиндмарш - Розе

Щуров Андрей

8

>

>x0 = y ax3 + bx2 z + I;

>

>

<

y0 = c dx2 y;

>

>

>

>:z0 = r [s(x ) z]

Возможные значения параметров: a = 1:0, b = 3:0, I = 2:7, c = 1:0, d = 5:0, r = 0:003 или r = 0, s = 4:0, = 1:6.

Дополнительно для каждой компоненты решения x(t), y(t) и т.д. построить

0

применяя к полученному численному решению ту или иную квадратурную формулу. (Выбор квадратуры обосновать.)

Найти количество нулей функций Rx( ), Ry( ), Rz( ) на отрезке [0; T ].

15. Отображение Смейла - Вильямса

Серегин Павел

8

>

>r0 = 1 + (r 1) + " cos ';

>

>

<

'0 = 2';

>

>

>

>:z0 = az + " sin ';

Система записана в цилиндрических координатах ( x = r cos ', y = r sin ',= z).

Начальные данные выбираются на поверхности тора, описываемой двумя параметрами (u; ): r = 1 + 12 cos u, ' = , z = 12 sin u, 0 u; 2 .

Возможные значения параметров: a = 0:2, " = 0:3.

Дополнительно построить три сечения Пуанкаре решения системы ОДУ плос- костями r = constr, ' = const', z = constz. Изобразить полученные сечения как в цилиндрических, так и в декартовых прямоугольных координатах.

16

16. Обобщенное преобразование пекаря

Санаев Иван

причем + = 1, + 1.

Дополнительно построить сечения Пуанкаре решения системы ОДУ плоскостями x = constx, y = consty, а также плоскостью Ax + By + D = 0.

17. Аналоговый генератор случайных сигналов

Парусникова Марина

обеспечивают включение и выключение процессов, отвечающих за динамику системы на второй и третьей стадиях. Рассмотрим случай T = 10,

Дополнительно для каждой компоненты решения x(t), y(t) и т.д. построить

0

применяя к полученному численному решению ту или иную квадратурную формулу. (Выбор квадратуры обосновать.)

Найти первые нули функций Rx( ), Ry( ), Rz( ).

17

Литература

1.Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы. (Любое издание.)

2.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. (Любое издание.)

3.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. (Любое издание.)

4.Калиткин Н.Н. Численные методы. (Любое издание.)