Файл: Lektsii_po_mekhanike.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.03.2025

Просмотров: 905

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рис. 79 По определению кинетического момента:

n

n

~

X

~

X

~

KO =

KOν

=

r~ν × mν Vν

(120)

ν=1

ν=1

Скорость любой точки тела выражается как:

~

~

~

Vν = VO + ω~ × r~ν , где VO = 0

С учетом последнего

n

n

~

X

X

KO =

r~ν × mν ω~ × r~ν =

mν (ω~(r~ν · r~ν ) − r~ν r~ν · ω~)

ν=1

ν=1

Запишем векторы из предыдущего выражения как функции их проекций на оси координат:

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

KO = KOxi + KOyj + KOz k; r~ν = xν i + yν j + zν k; ω~ = ωxi + ωyj + ωz k

Учтем, что r~ν · r~ν = xν2 + yν2 + zν2;

r~ν · ω~ = xν ωx + yν ωy + zν ωz

Тогда выражение примет вид:

n

~

X

~

~

~

2

2

2

~

~

~

+ yν ωy + zν ωz )}

KO =

mν {(ωxi + ωyj + ωz k)(xν

+ yν + zν ) − (xν i + yν j + zν k)(xν ωx

ν=1

Для проекций вектора кинетического момента получаем выражения:

Xn

KOx = mν {ωxx2ν + ωxyν2 + ωxzν2 − x2ν ωx − xν yν ωy − xν zν ωz }

ν=1

Xn

KOy = mν {ωy x2ν + ωyyν2 + ωyzν2 − xν yν ωx − yν2ωy − yν zν ωz }

ν=1

Xn

KOz = mν {ωz x2ν + ωz yν2 + ωz zν2 − zν xν ωx − yν zν ωy − zν2ωz }

ν=1

Поскольку не зависят от выбора точки на теле, то предыдущие выражения можно переписать в виде:

n

n

n

X

X

X

KOx = [ mν (yν2 + zν2)]ωx − [ mν xν yν ]ωy − [

mν xν zν ]ωz

ν=1

ν=1

ν=1

n

n

n

X

X

X

KOy = −[

mν yν xν ]ωx + [

mν (zν2 + xν2 )]ωy − [

mν yν zν ]ωz

ν=1

ν=1

ν=1

n

n

n

X

X

X

KOz = −[

mν zν xν ]ωx − [

mν zν yν ]ωx + [

mν (xν2 + yν2)]ωz

ν=1

ν=1

ν=1

Введем обозначения:

n

X

Ixx =

mν (yν2 + zν2)

ν=1

n

X

Iyy =

mν (xν2 + zν2)

ν=1

n

X

Izz =

mν (xν2 + yν2)

ν=1

n

Ixy =

X

mν xν yν

ν=1

n

X

Iyz =

mν yν zν

ν=1

n

X

Izx =

mν zν xν

ν=1

Получим:

KOx = Ixxωx − Ixyωy − Ixz ωz

KOy = Ixyωx − Iyyωy − Iyz ωz

KOz = Ixz ωx − Izyωy − Izz ωz

Кинетический момент твердого тела с однородной неподвижной точкой относительно этой точки равен произведению тензора инерции на угловую скорость тела.

42 Моменты инерции абсолютно твердого тела

42.1Определения

Разделим мысленно твердое тело на n частей с массами mν и радиусами-векторами r~ν .

~

~

~

Если xν , yν , zν — координаты точки с массой, то ~rν = vν i + yν j + zν + k.

Радиус-вектор центра масс полученной системы определяется по формулам

n

X

~rc =

mν~rν .

(121)

ν=1

Выражения для осевых моментов инерции твердого тела имеют вид:

n

X

Ixx =

mν (yν2 + zν2),

ν=1

n

X

Iyy =

mν (x2

+ z2),

(122)

ν

ν

ν=1

n

X

Izz =

mν (xν2 + yν2).

ν=1

Выражения для центробежных моментов инерции твердого тела имеют вид:

Xn

Ixy =

mν xν yν ,

ν=1

n

Iyz =

X

mν yν zν ,

(123)

ν=1

Xn

Izx = mν zν xν .

ν=1

При увеличении числа n и стремлении mν к нулю выражения (122) и (123) принимают вид:

Z Z Z

Ixx = (y2 + z2)dm,

V

Z Z Z

Iyy = (y2 + z2)dm,

V

Z Z Z

Izz = (z2 + x2)dm,

V

Ixy = Z Z Z

xydm,

V

Iyz = Z Z Z

yzdm,

V

Izx = Z Z Z

zxdm.

V

Обозначим через γ плотность тела в точке x, y, z, тогда dm = γ(x, y, z)dV , где dV — элементарный объем. C учетом этого выражения для моментов инерции примут вид:

Z Z Z

Ixx = (y2 + z2)γ(x, y, z)dxdydz,

V

Iyy = Z Z Z (x2 + z2)γ(x, y, z)dxdydz,

(124)

V

Izz = Z Z Z (x2 + y2)γ(x, y, z)dxdydz,

V

Ixy = Z Z Z

xyγ(x, y, z)dxdydz,

V

Iyz = Z Z Z

yzγ(x, y, z)dxdydz,

(125)

V

Izx = Z Z Z

zxγ(x, y, z) dxdydz.

V

Если тело — однородное, то выражения (124), (125), являющиеся компонентами тензора инерции тела, примут вид:

Z Z Z

Ixx = γ (y2 + z2)dxdydz,

V

Z Z Z

Iyy = γ (x2 + z2)dxdydz,

V

Z Z Z

Izz = γ (x2 + y2)dxdydz,

V

Ixy = γ Z Z Z

xydxdydz,

V

Iyz = γ Z Z Z

yzdxdydz,

V

Izx = γ Z Z Z

zxdxdydz.

V

42.2 Свойства тензора инерции

Диагональные элементы матрицы I (осевые моменты инерции) строго положительны:

Ixx ≥ 0, Iyy ≥ 0, Izz ≥ 0.

Осевые моменты инерции любого твердого тела удовлетворяют следующим неравенствам:

Ixx + Iyy ≥ Izz , Izz + Iyy ≥ Ixx, Ixx + Izz ≥ Iyy.

42.3 Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюй-

генса

z0 z 6

6

d

C- y0

ª

O

- y

x0

xª

Рис. 80 Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. По-

кажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.

Проведем через центр масс тела произвольные оси x0y0z0, а через любую точку на оси Cx0 — оси Oxyz, такие, что Oy||Cy0, Oz||Cz0 (рис. 80). Расстояние OC между осями и обозначим через d. Тогда по формулам (122) будет

IOz = X mk(yk2 + xk2 ), IOz0 = X mk(y0k2 + x0k2 ).

(126)

0

2

02

2

0

0

Но, как видно из рисунка, для любой точки тела xk = xk − d

и xk

= x k + d

−22x kd, а yk = yk.

Подставляем эти значения xk, yk в выражение для Ioz и вынося общие множители d

и 2d за скобки,

получим

IOz = X mk(y0k2 + x0k2 ) + (X mk)d2 − 2d X mkx0k.

(127)

В правой части равенства, согласно (126), первая сумма равна Icz0 , а вторая — массе тела . Найдем значение третьей суммы.

На основании формул (121) для координат центра масс P mkx0k = M x0c. Так как в нашем случае точка является началом координат, то x0c = 0 и, следовательно, P mkx0k = 0. окончательно получаем

IOz = IOz0 + M d2.

(128)

Формула выражает теорему Гюйгенса:

Теорема. Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Смотрите также файлы