Файл: Lektsii_po_mekhanike.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.03.2025

Просмотров: 883

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

находится на той же прямой и противоположно направлена по отношению к силе, которая действует на первое тело со стороны второго.

Аксиома 5 (о связях)

Определение. Связями в механике называют ограничения, препятствующие движению материальных тел. Действие связей можно заменить силами (которые называются реакциями связей) по определенным правилам.

Рис. 6 Аксиома 6 (Отвердевания)

При добавлении связей к системе тел, на которую действует система сил, эквивалентная нулю, состояние системы не меняется.

4Теорема о приведении произвольной системы сил к двум силам

Теорема. Произвольную систему сил с помощью только элементарных операций можно привести к двум силам.

Доказательство

1. Одна сила: Разложить по правилу параллелограмма.

*

-

j

Рис. 7

2. Две силы: Уже приведены.

~

~

~

3. Три силы: ( FA в точке A,

FB в точке B, FC в точке C):

~

FA

¸

~

ºFC

~

FB

A

6

C

B

Рис. 8

(a) Через точку и вектор ~C проводим плоскость (рис. 9). Точка в эту плоскость может

A F B

и не попадать.

~

FA

¸

~

ºFC

~

A

FB

6

C

B

Рис. 9

(b) Через точку и вектор ~B проводим плоскость (рис. 10).

A F

~

FA

¸

~

ºFC

~

A

FB

6

C

B

Рис. 10

(c)На линии пересечения плоскостей выберем произвольную точку D (рис. 11).

(d)Провести прямые AB, BD в одной плоскости и AC, DC в другой (рис. 11).

(e) Разложить

вектор

~

на направляющие

AB, BD

по правилу параллелограмма.

FB

~

~ 0

~ 00

~

на направляющие

AC, DC по правилу паралле-

FB

= FB + FB . Разложить вектор FC

~

~ 0

~ 00

лограмма. FC = FC

+ FC .

~~

(f)Переместить составляющие векторов FB и FC вдоль направляющих к точкам A и D (рис. 12).

~

~

FA

FA

¸

~

~

0

~ 00

¸ µ FB

ºFC

~ 0

F

~

ÁF

C

A

C

Y

A

FB

6

Y

~

00

~

00

C

C

FC

FB

~

I

0

µ FB

B

B ~

00

Á ~

FB

0

I

FC

D

D

Рис. 11

Рис. 12

(g) В точках A и D сложить силы по правилу параллелограмма.

Понятно, что систему, состоящую из большего (чем три) количества сил, можно привести к двум силам, последовательно работая с каждыми тремя силами.

Теорема. Произвольную систему сил только с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, одна из которых будет приложена в заранее указанной точке.

Доказательство:

Сначала система приводится к двум силам по алгоритму предыдущей теоремы. Далее необходимо провести (две) плоскости через заданную точку и полученные векторы сил. Заданная точка будет находиться на пересечении плоскостей. Остается выбрать произвольную точку на линии пересечения плоскостей и повторить пункты 4-7 доказательства предыдущей теоремы.

5 Момент силы относительно точки

~

6M

B

µ

~

O F

A

Рис. 13

Определение. Моментом силы относительно точки называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы, в ту сторону, откуда последовательный обход точек: выбранной, начала вектора силы, конца вектора силы и снова выбранной точки виден происходящим против часовой стрелки.

~

Если O — точка, относительно которой определяется момент силы F , то момент силы обозна-

~

чается обычно, как MO(F ). Можно показать, что, если точка приложения силы F определяется

радиусом-вектором ~r относительно точки O, то справедливо соотношение

~ ~

~

(5)

MO(F ) = ~r × F

~

т.е. момент силы относительно точки равен векторному произведению вектора ~r на вектор F .

Пусть x, y, z — координаты точки приложения силы F , а Fx, Fy, Fz — проекции силы на коорди-

натные оси. Тогда момент силы F относительно начала координат имеет вид:

F~ = ¯

~

~

~

¯ = (yFz

M~O(F~ ) = ~r

i

j

k

zFy )~i + (zFx

xFz )~j + (xFy

yFx)~k

(6)

×

¯

¯

−

−

−

¯

Fx

Fy

Fz

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Отсюда следует, что проекции момента силы относительно начала координат на координатные оси задаются формулами:

M

~

yF

zF

F

−

Ox(

~ ) =

z

y

MOy(F ) = zFx

−

xFz

~

− yFx

MOz (F ) = xFy

6 Связь моментов одной и той же силы относительно разных

точек

~

F

µ

A

¾

O1

I

Рис. 14O

~

~

~

~

~

~

~

~

По определению: MO(F ) = OA × F ;

MO1 (F ) = O1A × F .

~

~

~

~

Вектор O1A можно представить как O1A = O1O + OA, поэтому

~ ~

~

~

~

~ ~

~ ~ ~ ~ ~

(7)

MO1 (F ) = O1A × F = O1O × F + OA × F = O1O × F + MO(F )

~

~

~

~

~

~

Следовательно, MO1

(F ) − MO(F ) = O1O × F

7Теорема о проекциях векторов моментов силы относительно разных точек

Теорема. Проекции векторов моментов одной и той же силы относительно двух разных точек на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.

Доказательство:

Используем формулу связи моментов одной и той же силы относительно разных точек:

~

~ ~ ~

~ ~

(8)

MO1

(F ) − MO(F ) = O1O × F

Для проекций левой и правой частей этого равенства на ось O1O можно записать:

~

~

~

~

~ ~

(9)

Пр{MO1

(F )} − Пр{MO

(F )} = Пр{O1O × F }

~ ~

~

~

Но Пр{O1O × F } = 0, так как вектор O1O × F перпендикулярен плоскости, в которой находится

~

~

~

~

ось O1O. Следовательно, Пр{MO1

(F )} = Пр{MO(F )}

8 Момент силы относительно оси

L0

~ ¸

K

F

~

M A O

L

Рис. 15 Определение. Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проек-

ции вектора момента силы относительно любой точки оси на саму ось.

Один из способов вычисления момента силы относительно оси:

1.Выбрать на оси произвольную точку и построить через эту точку плоскость, перпендикулярную оси.

2.Спроектировать на плоскость силу.

3.Определить момент полученной проекции силы относительно выбранной точки.

9 Главный вектор, главный момент системы сил

~

F2

~

µ ¸ F1

0

: A2

-

A1

z

ª

j

~

Fn

Рис. 16

~

UF3

~

~

~

Пусть дана произвольная система сил {F1

, F2

, . . . , Fn}.

~

n

~

называют главным вектором. Сумму

Сумму этих сил R =

k=1 Fk

моментов сил

относительно какого-либо полюса (центра приведения)

P

~

P

n

~ ~

P

~

~

n

LO =

k=1 MO(Fk) =

k=1 OAk × Fk называют главным моментом

рассматриваемой системы сил.

10Связь главных моментов системы сил относительно разных точек

n

n

~

X

~

~

X

~

~

LO =

MO(Fk) =

OAk × Fk

k=1

k=1

n

n

n

~

=

X

~

~

X

~

~

X

~ ~ ~ ~

LO1

MO1

(Fk) =

(O1Ak × Fk) =

k=1

[O1O × Fk + OAk × Fk]

k=1

k=1

Смотрите также файлы