ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.03.2025
Просмотров: 542
Скачиваний: 2
E .
Величина Е называется модулем упругости первого рода (или модулем упругости Юнга).
Закон Гука можно записать и в виде E .
Ниже приведены значения модуля Юнга для некоторых конструкционных материалов
Сосна |
|||||
Материал |
Алмаз |
Сталь |
Чугун |
Алюминий |
(вдоль воКаучук |
локон) |
Модуль |
12 105 |
2 105 |
1,2 105 |
0,7 105 |
0,1 105 |
7 10 |
Юнга, МПа |
Во многих случаях возникает необходимость учитывать деформации, связанные с температурным воздействием. Используя принцип независимости действия сил, закон Гука принимает вид
E T , |
||
где α – температурный коэффициент расширения материала, |
Т – разность тем- |
|
ператур. |
||
Температурный коэффициент расширения для стали равен ст |
12,5 10 6 1/град; |
|
для меди медь |
25 10 6 1/град. |
|
Деформации и перемещения
Определим упругие деформации стержня.
Изменение длины при растяжении l, называется абсолютной продольной деформацией или удлинением. По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения называется абсолютной поперечной деформацией.
Величина называется относительной продольной деформацией,
а величина – относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечная деформации имеют противоположные знаки.
Величина |
' |
называется коэффициентом Пуассона. Доказано, что коэффи- |
|
циент Пуассона изменяется в пределах 0 12 .
Коэффициент Пуассона и модуль Юнга являются основными прочностными характеристиками изотропного материала.
Используя формулы l l , E , NFz , получим формулу для вычис-
ления абсолютного удлинения стержня
l NE zFl .
Произведение EF принято называть жесткостью поперечного сечения Эта формула применима только в случае, когда на длине стержня жест-
кость поперечного сечения и продольная сила не изменяются (EF=const,
Nz =const). Если стержень имеет ступенчатое изменение жесткости или продольной силы, то удлинение стержня определяется как сумма удлинений n отрезков
стержня длиной l (k ) , в пределах которых (EF)(к) |
и N z(k ) постоянны |
|||
n |
(k ) |
(k ) |
||
l |
N z |
l |
. |
|
(EF ) |
(k ) |
|||
k 1 |
||||
Эту же задачу можно решить, используя принцип независимости действия |
||||
сил |
||||
l l (ст) (P ) l (ст) (P ) l (ст) (P ) , |
||||
1 |
2 |
n |
||
где l (ст) (Pk ) – удлинение всего стержня от действия одной силы.
Если Nz и EF меняются по длине стержня l непрерывно, то удлинение стержня вычисляется по
Перемещение сечения вычисляется относительно какого-либо начала отсчета. Если один конец стержня закреплен, то перемещение другого конца численно равно полному удлинению стержня. Перемещение промежуточного сечения стержня численно равно абсолютному удлинению той части стержня, которая находится между сечением и закрепленным концом стержня. Взаимное перемещение двух сечений численно равно абсолютному удлинению части стержня, заключенной между этими сечениями.
Пример. Спроектировать стержень с одинаковым по длине напряжением σ0.
На расстоянии z от верхнего конца стержня вес его равен
z
G(z) V (z) F (t)dt ,
0
z
а продольная сила равна N z (z) P G(z) P F (t)dt .
0
С другой стороны продольная сила по условию задачи должна быть равна N z (z) 0 F(z) , поэтому имеем
z
0 F (z) P F (t)dt .
0
Продифференцируем это соотношение 0 |
dF (z) |
F (z) ; |
||||||||
dz |
||||||||||
dF (z) |
dz и проинтегрируем |
dF (z) |
||||||||
запишем его в виде |
dz . |
|||||||||
F (z) |
0 |
F |
0 |
|||||||
В результате получим соотношение ln(F ) 0 z const , которое приведем к виду
F (z) Cexp( z) .
0
Значение константы найдем из граничного условия при z=0:
F (0) F0 P .
0
Окончательно выражение для площади поперечного сечения стержня будет иметь вид
F (z) Cexp( z)
0
Вычислим удлинение стержня
l N z (z)dz |
0 |
dZ 0 H |
|||
H |
H |
||||
0 |
E F (z) |
0 |
E |
E |
|
Напряженное состояние при растяжении
Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным, поэтому исходные площадки являются главными. Причем в случае растяжения
, а в случае сжатия .
Площадки с экстремальными касательными напряжениями , которые
наклонены по отношению к исходным под углами и равны . Именно с действием экстремальных связано появление на боковой поверхности образца при растяжение линий скольжения, ориентированных под углом
к оси образца. На площадках с экстремальными действуют и нормальные напряжения, равные .
Расчеты на прочность при растяжении
Условие прочности при растяжении (сжатии) стержня имеет вид
max пред
Максимальное напряжение max определяется моделями нагружения и формы и определяется расчетом; предельное напряжение пред определяется ма-
териалом , из которого изготовлен элемент конструкции. Для пластических материалов за предельное напряжение принимается предел текучести, для хрупких материалов – предел прочности.
В практических расчетах вышеприведенное условие прочности усиливают, вводя нормативный коэффициент запаса прочности [n] > 1, и вводится понятие допускаемого напряжения [ ] пред /[n]. В этом случае условие прочности при-
нимает вид
max [ ] .
Кроме условия прочности элементы конструкций во многих случаях должны удовлетворять условию жесткости. Применительно к стержневым системам это условие накладывает ограничения на максимальные перемещения
.
В инженерных расчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механики материалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.
1. Проверка прочности (поверочный расчет). Этот расчет проводится, если нагрузка, сечение стержня F и допускаемое напряжение заданы. Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности
max max N z [ ] min F
Расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности п и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]:
n [n] .
2.Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции при известной форме элемента F и при известном материале элемента [σ]
.
3. Подбор сечения (проектный расчет). В этом расчете по заданной нагрузке определяются размеры поперечного сечения стержня из заданного материала. Минимальное значение F получим, если в условии прочности принять знак равенства:
.
Потенциальная энергия упругой деформации
Рассмотрим стержень, изображенный на рис.1. Согласно теореме Клайперона, работа внешней силы P N z по деформированию стержня численно равна
площади, ограниченной зависимостью Р(Δl) и осью абсцисс, то есть dA 12 N z dl