Файл: lektsii_sopromat_1-5.pdf

Здесь r=(i, i+1, ,I) – множество всех активных усилий, расположенных в пределах рассматриваемой отсеченной части конструкции. Из этих уравнений определяются значения внутренних силовых факторов в рассматриваемом сечении. Подобную процедуру можно проделать во многих сечения и выявить изменение внутренних силовых факторов от какого-либо параметра (например, от координаты длины рассматриваемого элемента конструкции). Такие зависимости называются эпюрами внутренних силовых факторов.

Вопросы к лекции.

1.Основные понятия о работоспособности конструкции.

2.Что такое модели прочностной надежности.

3.Основные модели прочностной надежности.

4. Уравнения равновесия статики.

5.Что такое внутренние силовые факторы.

Лекция 2

Понятие о напряжениях. Напряженное состояние в точке.

Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Рассмотрим в сечении точку М, к которой приведены главный вектор внутренних сил и главный момент этих сил. Проведем из этой точки

единичный вектор нормали n . В окрестности этой точки выделим малую пло-

щадку F. Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке,

обозначим P (рис. 2.1).

Рис.2.1. К определению нормального и касательного напряжений

При уменьшении размеров площадки соответственно уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил. В пределе при F 0 получим

Введенный таким образом вектор рп называется вектором напряжений в точке. Этот вектор зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки

F, характеризуемой вектором n . Совокупность всех векторов напряжений в точ-

ке М для всевозможных направлений вектора n определяет напряженное состояние в этой точке.

В общем случае направление вектора напряжений рп не совпадает с

направлением вектора нормали n .Проекция вектора рп на направление вектора

n называется нормальным напряжением σn, а проекция на плоскость, проходя-

щую через точку М и ортогональную вектору n – касательным напряжением τn. Деформации тела характеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и после деформации. Рассмотрим, например, точку М и близкую к

ней точку N, расстояние между которыми в недеформированном состоянии вдоль направления вектора s обозначим через s (рис. 2.2).

Рис.2.2. К определению линейной деформации

В деформированном состоянии точки М и N переместятся в новое положение (точки М' и N’), расстояние между которыми обозначим через s'. Предел отношения

называется относительной линейной деформацией в точке М в направлении вектора s. Рассматривая три взаимно перпендикулярных направления, например, вдоль координатных осей Ох, Оу и Oz, получим три компоненты относительных линейных деформаций x , y , z , характеризующих изменение объема тела в про-

цессе деформирования.

Для описания деформаций, связанных с изменением формы тела, рассмотрим точку А и две близкие к ней точки B и C, расположенные в недеформированном состоянии в направлении двух взаимно ортогональных векторов s и r (рис. 3). В деформированном состоянии положение точек обозначим через B’ C'. Деформация сдвига

sr 1sr 2sr

Рис. 2.3. К определению угловой деформации в точке

Здесь 1sr , 2 sr – углы поворота отрезков AB и AC относительно первона-

чальных направлений.

Если заданы три взаимно ортогональных вектора, направленных вдоль координатных осей, то имеются три угловые деформации xy , xz , yz , которые

вместе с тремя линейными деформациями x , y , z полностью определяют деформированное состояние в точке.

Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений

Совокупность всех возможных пар векторов п, рп в точке определяет напряженное состояние в данной точке. Однако для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимости задавать бесконечное множество направлений вектора п, достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора напряжений.

Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направления которых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадки образуем дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy, dz. В результате в окрестности точки М получим бесконечно малый параллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dFx=dydz, dFy==dxdz, dFz= dxdy. Векторы напряжений рх, р , pz, действующие на элементарных площадках, показаны на рис. 4.

Рис. 2.4. Равновесие бесконечно-малого параллелепипеда

Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 2.5). На каждой площадке действует одно нормальное напряжение( σx ,или σy, или σz) и два касательных напряжения, нижние индексы в обозначениях которых указывают: первый указывает направление действия напряжения, второй – направление вектора нормали к площадке.

Рис.2.5. Компоненты тензора напряженного состояния

Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент:

Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис.2.5 все компоненты тензора напряжений изображены положительными.

Свойства тензора напряжений. Главные напряжения

Тензор напряжений обладает свойством симметрии (без доказательства). Это значит, что

,

Эти условия симметрии тензора напряжений называются условиями парности касательных напряжений. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем, что компоненты тензора напряжений, определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, то есть позволяют вычислить напряжения на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный тетраэдр (рис. 2.6). Наклонная площадка характеризуется единичным вектором п с компонентами nx, ny, nz, нормальным к ее плоскости.

Рис.2.6. К вычислению напряжений на наклонной площадке

Вектор напряжений pn на наклонной площадке разложим на составляющие рx, рy, рz вдоль координатных осей. Площадь наклонной площадки обозначим dF. Площади граней, ортогональных координатным осям обозначим соответственно

dFx, dFy, dFz.

Эти площади связаны между собой соотношениями

так как грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя напряжения, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проектируя все компоненты напряжений на ось Ох, получим

px dF x dFx xy dFy xz dFz 0

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим

называется формулами Коши

Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2.2) позволяют вычислить полное напряжение через компоненты тензора напряжений

Среди всех возможных направлений вектора нормали n существуют такие направления, для которых вектор напряжений pn параллелен вектору п. На соответствующих площадках действуют только нормальные напряжения σ, а касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Так как векторы pn=σ и n совпадают по направлению, то можно записать, что

(2.6)

Подставив выражения (2.6) в соотношения Коши (2.2), получим систему линейных однородных уравнений относительно компонент nx, ny, nz вектора нормали к главной площадке

Система однородных уравнений имеет ненулевое решение, если ее определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль

Коэффициенты (2.9) в уравнении (2.8) называются инвариантами тензора напряжений. Термин «инвариантность» обозначает независимость некоторой величины от выбора системы координат.

Кубическое уравнение (2.8) имеет три вещественных корня σ1 σ2 σ3, которые обычно упорядочиваются так, что 1 2 3 .

Каждому значению σj (j=1, 2, 3) соответствует вектор nj, характеризующий положение j-й главной площадки, с компонентами n1j , n2j , n3j . Для нахождения

этих компонент необходимо в уравнения подставить найденное значение σj и решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки

(2.12)

Главные напряжения обладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Уравнение (2.7) для главных площадок принимает вид