БИЛЕТ 30. Условный экстремум. Изопериметрическая задача. Необходимое условие.

Требуется найти экстремум функционала при условии, что другой функционал имеет заданное значение . Предполагается, что функционалы и дифференцируемы в рассматриваемом банаховом пространстве.

Лемма 1.

Если функционал достигает экстремума в точке при условии и не является экстремалью функционала , то для любого , удовл.

, , , .

По условию леммы

Так как - точка условного экстремума для функционала , то достигает экстремума в точке при условии .

---

По определению производная Гато

по теореме о существовании неявной функции , причем , .

Получаем имеет экстремум при .

Лемма 2.

Если линейный функционал обращается в ноль на тех же элементах, на которых обращается в ноль линейный функционал , то существует: .

Если , то утверждение леммы очевидно.

Если , то .

По условию:

где .

Теорема 1 (Эйлера).

Пусть кривая реализует экстремум функционала при условии , причем не является экстремалью , и и дифференцируемы в точке , тогда является экстремалью .

---

Доказательство.

Из условий теоремы следует, что при любом допустимом приращении . Кроме того, функционалы дифференцируемы является экстремалью .

Таким образом, чтобы решить изопериметрическую задачу, нужно найти общее решение уравнения Эйлера для функционала , где произвольные постоянные и параметр определяются из граничных условий и условий связи .

Теорема 2.

Если реализует экстремум дифференцируемого функционала в точке при условии , причем не является экстремалью ни одного из , и линейно независимы, то является экстремалью следующего функционала: (без доказательства).

Пример (задача Дидоны).

- при условии .

---

(первый интеграл интеграл уравнения Эйлера (интеграл энергии))

- дуга окружности

Проходит через точки , . Длина дуги равна , .

БИЛЕТ 10. Представление аналитической в круге функции рядом Тейлора. Нули аналитической функции.

Теорема.

Пусть аналитична при , тогда представима рядом Тейлора.

при

Доказательство:

Рассмотрим , тогда

По интегральной формуле Коши: .

Рассмотрим

.

Тогда подставим разложение в наш интеграл:

---

,

где - коэффициенты ряда Тейлора.

формула Вейерштрасса-Коши

Так как , , то

где .

Замечание 1:

То есть

3°. Нули аналитичной функции.

Определение: Если аналитична в , то точка называется нулем аналитичной функции кратности , если , то есть

Замечание 2:

- ноль кратности , , так как

Пример:

1)- ноль кратности 1.

2) - ноль кратности 4.

---

Смотрите также файлы

• ВМ1(3 семестр)шпоры1.doc

• Виды сопряжений.pdf

• Введение в культурологию.doc

• Введение в культурологию.doc

• варианты-10-01.12.2010.pdf