БИЛЕТ 11. Представление аналитической в кольце функции рядом Лорана.

Теорема:

Пусть аналитична при , тогда , где

.

Доказательство:

Рассмотрим , тогда . По интегральной формуле Коши . Знак минус потому что направление обхода против часовой стрелки.

1). , где , но , так как не определена в точке .

2).

, причем этот ряд сходится равномерно.

Подставим в интеграл:

.

Таким образом

,

где

- регулярная часть

- главная часть.

При

---

При

Лемма. (О единственности разложения ряда Лорана)

Пусть сходится при , тогда аналитична при и , .

Доказательство:

1). При сходится равномерно. (это простое следствие теоремы Абеля). По теореме Вейерштрасса функция аналитична в .

2). Вычислим

.

Так как

БИЛЕТ 16. Преобразование Лапласа: определение, свойства.

Пусть функция действительного переменного определена при (комплексно-значная функция). Тогда (1), где - комплексное число.

Функция удовлетворяет следующим свойствам:

1. Функция на любом конечном интервале непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва 1-го рода.

2. Функция при .

3. Функция растет при не быстрее показательной функции (не быстрее экспоненты), то есть (2).

---

Точная нижняя грань чисел , входящих в формулу (2), называется показателем роста функции и обозначается .

Пример.

функция Хевисайда.

удовлетворяет трём выше написанным условиям.

(3)

Для функции Хевисайда: , .

Функцию , удовлетворяющую трём свойствам, будем называть оригиналом, а - изображением.

Начиная с этого момента и далее значок «» эквивалентен значку « »

или (так обозначается соответствие между оригиналом и изображением).

(3’).

Введем функцию , которая удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2.

. Такая функция удовлетворяет условию 2.

Функции , удовлетворяют трем условиям. Для упрощения записи мы не будем писать функцию Хевисайда , но будем подразумевать, что функции , при .

---

Формулу (3’) можем записать так: .

Пример.

. Найти преобразование Лапласа, если - произвольное комплексное число.

.

А значит (4).

Очевидно, что данная функция будет аналитическая при .

Теорема (без доказательства).

Пусть - оригинал с показателем роста . Тогда изображение определено в полуплоскости и является аналитической функцией в этой полуплоскости.

Процесс нахождения по оригиналу изображения и обратное преобразование называется операционным исчислением.

Каждой функции соответствует единственное изображение : , но в некотором смысле обратное преобразование тоже единственно.

Теорема (единственности) (без доказательства).

Любое изображение однозначно определяет оригинал , кроме значений оригинала в точках разрыва.

2°. Свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности.

Если , а , , то .

---

Рассмотрим примеры.

Найдем преобразование Лапласа от тригонометрических и гиперболических функций.

Поскольку , то из формулы (4) вытекает:

,

2. Теорема подобия.

Если функция , - некоторая константа, то тогда .

Докажем это свойство.

Пусть . .

3. Дифференцирование оригиналов.

Пусть , кроме того, пусть или в более общем случае являются оригиналами.

Тогда (1).

(2).

Здесь , , где .

Докажем формулу (1).

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

{. Будем устремлять } . Формула (1) доказана.

---

Смотрите также файлы

• ВМ1(3 семестр)шпоры1.doc

• Виды сопряжений.pdf

• Введение в культурологию.doc

• Введение в культурологию.doc

• варианты-10-01.12.2010.pdf