ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.03.2025
Просмотров: 168
Скачиваний: 1
4. Дифференцирование изображения.
(3).
Докажем эту формулу.
-
аналитическая при
.
.
Далее по индукции…
Примеры.
,
,
,
,
где
-
натуральное число.
Найдем изображения для этих функций.
.
5. Интегрирование оригинала.
Пусть
,
тогда
(4).
Если
-
оригинал, то можно легко проверить, что
также является оригиналом.
,
Воспользуемся
формулой (1).
Пусть
.
Тогда по формуле (1)
,
откуда вытекает формула (4).
6. Интегрирование изображения.
Пусть
.
Предположим, что функция
является оригиналом.
Тогда
(5).
Лемма.
Если
-
оригинал, то тогда
.
Доказательство.
Так
как
-
оригинал, то
,
такие что
.
Докажем формулу (5).
,
.
.
(6)
.
Из формулы (5) вытекает формула (6).
Пример.
по
формуле (5)
7. Запаздывание оригинала.
Пусть
,
,
тогда
.
Докажем это.
при
.
П
ример.
,
8. Смещение изображения.
Пусть
,
-
произвольная комплексная константа.
Пример.
,
.
9. Изображение свёртки.
Определение.
Свёрткой функций
,
называется функция, обозначаемая
,
.
Теорема (об умножении изображений).
При
свёртывании оригиналов
,
их изображения
,
перемножаются, то есть
(1).
Доказательство.
Если
,
-
оригиналы, то функция
также является оригиналом (то есть для
нее выполнены 3 свойства оригинала)
(самостоятельно).
Пусть
,
тогда:
{
Поскольку интегралы, задающие аналитическую
функцию, сходятся, то мы можем поменять
порядок интегрирования в правой части
}
,
где
.
.
Теорема доказана.
В приложениях используется следствие из этой теоремы, когда надо найти оригинал функции:
(интеграл
Дюамеля).
.
В
силу симметричности свёртки
,
интеграл Дюамеля можно записать так:
.
Справедлива формула обращения преобразования Лапласа.
Теорема (без доказательства)
П
усть
-
оригинал, и
.
Предположим, что
непрерывна в точке
и имеет конечные односторонние производные
в этой точке.
Тогда:
.
Интегрирование
ведется по прямой
,
(
-
показатель роста), а интеграл понимается
в смысле главного значения, то есть:
.
В
случае, когда
-
дробно-рациональная функция, существуют
более простые формулы: