Файл: Задачи_lun.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.03.2025

Просмотров: 212

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Задача: Найти Фурье-образ функции. f1 (x, y) 4rect(x 3, 2 y);

f2 (x, y) tri(x / 3, 2 y).

Решение:

Преобразование Фурье первой функции:

F1 ( 1, 2 ) 4sinc 1, 2 e j 2 3 1 2 2

Преобразование Фурье второй функции:

F2 ( 1, 2 ) 3sinc

2

3 1,

1

1

2

2

Задача: Найти матрицы операций для линейной и циклической сверток.

x(n) 0; если

n 1, n 5;

h(n) 1 n 1 2 ,

если 0 n 3.

Решение:

Если рассчитать импульсную характеристику она примет вид: h(0) 1 1 2 0

h(1) 1 2 2 3 h(2) 1 3 2 8 h(2) 1 4 2 15

Теплицева матрица для линейной свертки:

y(1)

0

0

0

0

y(2)

3

0

0

0

y(3)

8

3

0

0

8

3

0

y(5)

15

y(6)

0

15

8

3

15

8

y(7)

0

0

y(8)

0

0

0

15

y(9)

0

0

0

0

0

0

x 1

0

x 2

0

x 3

0

3

x 4

x 5

8

15

Теплицева матрица для циклической свертки:

y(1)

15

8

3

x 1

y(2)

0

0

x 2

3

0

15

8

3

y(3)

8

3

0

15

8

x 3

y(4)

8

3

x 4

15

0 15

y(5)

x 5

Задача: Определить результат реконструкции двумерной функции, которая сначала дискретизируется с шагом 0.25, а затем восстанавливается после (идеальной) низкочастотной фильтрации.

f (x, y) sin(7 x) cos(3 y)

Решение:

Преобразуем функцию перед преобразованием Фурье:

f x, y

sin(7 x) cos(3 y)

i 7 x

e

i 7 x

i3 y

e

i3 y

e

e

2i

2

i 7 x

e

i3 y

e

i 7 x

e

i3 y

1

e

i 7 y

i3 x

i 7 x

4i

e

e

e

e

i3 y

Фурье-образ заданной функции:

7

3

7

3

1

, 2

1

, 2

1

2

2

2

2

F 1, 2

4i

7

3

7

3 .

1

,

2

1

, 2

2

2

2

2

Откуда x0

7

,

y 0

3

.

2

2

Частоты

дискретизации:

1

xs

4

,

1

ys

4

меньше частоты

x

y

дискретизации Найквиста-Котельникова 2 x0 ,

2 y 0 .

Найдем спектр дискретизированного изображения:

1 k xs , 2 l ys

FS 1, 2 xs ys F

k l

7

3

4l

7

3

4k,

4k,

4l

16

1

2

1

2

2

2

2

2

4i k l

7

3

7

3

1

4k, 2

4l

1

4k, 2

4l

2

2

2

2

Применим низкочастотный фильтр:

1

1

,

2 1 2,

2 2 2

H ,

2

xs ys

16

1

0,

èí à÷å

Получим Фурье-образ:

1

5

1

5

1

, 2

1

, 2

F 1, 2 H 1, 2 FS 1, 2

1

2

2

2

2

4i

1

5

1

5

1

, 2

1

, 2

2

2

2

2

Он при восстановлении дает функцию: f x, y sin( x) cos(5 y)

Задача: Определить результат реконструкции двумерной функции, которая сначала дискретизируется с шагом 0.25, а затем восстанавливается после (идеальной) низкочастотной фильтрации.

f (x, y) sin(8 x 6 y)

Решение:

Преобразуем функцию перед преобразованием Фурье:

f x, y sin(8 x 6 y)

ei 8 x 6 y

e i 8 x 6 y

2i

Фурье-образ заданной функции:

F 1, 2

1

1 4, 2 3 1 4, 2 3 .

2i

Откуда x0 4 ,

y 0 3 .

Частоты

дискретизации:

1

xs 4 ,

1

ys

4

меньше частоты

x

y

дискретизации Найквиста-Котельникова 2 x0 ,

2 y 0 .

Найдем спектр дискретизированного изображения:

1 k xs , 2 l ys

FS 1, 2 xs ys F

k l

16

1 4 4k, 2 3 4l 1 4 4k, 2 3 4l

2i

k l

Применим низкочастотный фильтр:

1

1

,

2 1 2,

2 2

2

H ,

2

xs ys

16

1

0,

èí à÷å

Получим Фурье-образ:

F 1, 2 H 1, 2 FS 1, 2 21i 1, 2 1 1, 2 1

Он при восстановлении дает функцию: f x, y sin(2 y)

Смотрите также файлы