Файл: Конспект_ИЭЭ_14.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.03.2025

Просмотров: 2453

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поток

180

E

EdS Er 2πrh,

S

заряд, охваченный поверхностью S, q

S

τh

(см. ЗАДАЧУ О ПОЛЕ ТОНКОЙ ДЛИННОЙ

НИТИ). Получим

E

2πrh τh

E

τ

.

r

r

ε

2πε r

0

0

Напряжение на обкладках конденсатора

R

R

τ dr

τ

R2

U φ φ φ R1 φ R2 1

Erdr 1

ln

.

2πε r

2πε

R

R

R

0

0

1

2

2

Ёмкость, приходящаяся на отрезок кабеля единичной длины,

C

τ

2πε

U

0

1

ln

R

2

R

1

.

3) Расчёт ёмкости сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком

Имеется сферический конденсатор, радиус внутренней обкладки которого равен R1, радиус внешней обкладки – R2, заполненный двумя слоями диэлектрика: диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε1 (область I на РИС. 22.9) примыкает вплотную к внутренней обкладке, диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε2 (область II) – к внешней обкладке, радиус границы разделал диэлектриков равен R0. Найти ёмкость конденсатора.

Зарядим конденсатор: пусть внутренняя обкладка

имеет заряд Q, а внешняя обкладка – заряд –Q. Элек-

ε2 ε1

–Q

трическое поле существует только

в пространстве

между обкладками (R1 < r < R2). Применим теорему

r

R1

Остроградского-Гаусса для D

I

Q

O

DdS q .

R2

R0

S

S

II

Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы,

концентричной конденсатору. Поток

D

Рис. 22.9

DdS Dr 4πr

2

,

S

охваченный поверхностью S свободный заряд равен Q,

Dr 4πr2 Q

D

Q

2

r

4πr

.

Связь между напряжённостью электрического поля и электрическим смещением

D ε εE E

Dr

c , E

Dr

Q

.

0

Ir

ε ε

IIr

ε ε

4πε ε r2

0

1

0

2

0

2

Напряжение на обкладках конденсатора

181

R

R

R

R

Q

dr

R

Q

dr

φ R

φ R

1

0

1

0

1

U φ

φ

E

dr

E

IIr

dr

E

Ir

dr

2

2

1

2

r

4πε ε

r

4πε ε

r

R

R

R

R

R

0

2

0

1

2

2

0

2

0

R

R

Q

1

0

1

1

Q

1

1

1

1

4πε

ε r

ε r

4πε

ε R

ε R

ε R

ε R

2

0

0

2

1

0

2

0

2

2

1

1

1

0

R

R

Q

ε R R ε R R ε R R ε R R

.

1

1

2

1

0

1

2

0

2

2

1

2

4πε

ε ε R R R

0

1

2

0

1

2

Ёмкость конденсатора

Q

4πε0ε1ε2R0R1R2

C U

.

ε R R ε R R ε R R ε R R

1

1

2

1

0

1

2

0

2

2

1

2

При ε1 = ε2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ. 22.1.

182

Лекция 23

3.4.4. Соединения конденсаторов

1. Последовательное соединение

Последовательное соединение конденсаторов – соединение, при котором конденсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.1 изображена схема батареи из N конденса-

C1

C2

Ci

CN

торов, соединённых последовательно. Заряд каждого

конденсатора равен заряду всей батареи, так как все

Рис. 23.1

обкладки кроме крайних (левая обкладка конденсато-

ра С1 и правая обкладка CN на схеме РИС. 23.1) изолированы и сумма их зарядов равна нулю:

Q

Q

Q

1

2

i

Напряжение на i-м конденсаторе

U

Q

i

i

C

i

.

QN

Q

.

Напряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов:

U

i

Q

i

U

C

i

Ёмкость батареи

C

Q

1

U

1

C

i

2. Параллельное соединение

Q

1

.

C

i

1

1

C

C

i

.

C1

C2

Ci

CN

Рис. 23.2

Параллельное соединение конденсаторов – соединение, при котором конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.2 изображена схема батареи N конденсаторов, соединённых параллельно. Напряжение на каждом из конденсаторов одинаково и равно напряжению на всей батарее:

U1 U2

Ui

UN U .

Заряд батареи равен сумме зарядов каждого из конденсаторов:

Q Qi CiUi U Ci .

Ёмкость батареи

Q

Ci ,

C

C

C

.

U

i

Нужно соблюдать правила построения электрических схем!

183

3.5. Энергия электростатического поля

3.5.1. Энергия заряженного конденсатора

Пусть конденсатор ёмкостью C имеет заряд q. Перенесём положительный малый заряд dq с отрицательно заряженной обкладки на положительно заряженную (РИС. 23.3). При этом внешними силами совершается работа

*

dq φ φ Udq

q

dq .

δA

C

Работа внешних сил по зарядке конденсатора от 0 до Q

Q

qdq

Q

2

A

*

.

0

C

2C

Так как работа – мера изменения энергии, W = A*,

W

Q

2

CU

2

QU

2C

2

2

(по определению ёмкости Q = CU). Демонстрация: Энергия конденсатора

q –q dq

Рис. 23.3

3.5.2. Объёмная плотность энергии электрического поля

Q

–Q

Рассмотрим заряженный плоский конденсатор (РИС. 23.4); заряд

конденсатора равен Q, площадь обкладок – S, расстояние между об-

кладками – d, конденсатор заполнен диэлектриком с относитель-

ной диэлектрической проницаемостью ε. Электрическое поле

d

внутри конденсатора однородно,

его напряжённость равна E . Ём-

кость этого конденсатора C ε0εS

, а напряжение между обкладка-

Рис. 23.4

d

ми (по интегральной связи напряжённости и потенциала) U = Ed. Энергия конденсатора

CU

2

ε εS

2

W

E d

2

ε εE V

0

0

2

2

2d

2

где V = Sd – объём конденсатора.

,

(23.1)

Объёмная плотность энергии электрического поля – энергетическая характеристика поля, равная энергии поля в единичном объёме

w

W

V

для однородного поля,

w

dW

;

dV

w

Дж

.

3

м

для неоднородного поля.

В изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε

(23.2)

Смотрите также файлы