Файл: Лабораторные работы по ИТ.pdf

Перейдем теперь к знакомству с конкретными технологиями обработки узловых уравнений, начав с наиболее известной технологии непосредственного решения узловых уравнений, соответствующей так называемому методу простой итерации. Для этого

вначале уравнение GU = J запишем в виде G(-Gd + Gd)U = J, где через Gd обозначена диагональная матрица, ненулевыми элементами которой являются собственные

Проведя ряд простейших преобразований, получаем:

GdU = J – (G –Gd)U; U = Gd -1J – Gd -1(G –Gd)U = B + CU,

В методе простой итерации решение находится как

U(k)=B+СU(k-1),

где k – номер итерации, U(0) – начальное приближение (т.е. произвольно или исходя из каких-либо физических или математических соображений первоначально заданное значение вектора узловых напряжений). Процесс считается законченным, когда норма разности значений узловых напряжений двух смежных итераций становится меньше некоторого наперед заданного числа, т.е. когда

U (k +1) −U (k ) .

Заметим, что итерационную схему этого метода можно представить в виде U(k+1)- U(k) = С(U(k) - U(k-1)), откуда следует U(k+1) - U(k) = С(k) (U(1) - U(0)). Для сходимости

Следовательно, метод простой итерации заведомо сходится лишь при диагональном преобладании матрицы G, т.е. когда каждый узел цепи соединен с базисным узлом ветвью с ненулевой проводимостью, что далеко не всегда выполняется на практике. Тем не менее этот метод достаточно часто применяют при расчетах цепей больших размерностей m.

3.Вопросы для коллоквиума

1.Как составляется матрица соединений?

2.Какова размерность матрицы соединений, матрицы проводимостей, источников тока и ЭДС?

3.В чем заключается метод простой итерации?

4.Всегда ли будет решение метода простой итерации?

4.Рабочее задание

1.Для схемы в таблице 1 составьте матрицу соединений. Ток в источниках тока

равен 1 А. Проводимости резисторов, кроме G3 и G7, равны 1 См. Проводимости G3 и G7 приведены в таблицах 2 и 3.

67

Таблица 2

Рис. 4

2.По указанию преподавателя в вычислительной среде Mathcad или MATLAB используйте шаблон расчета электрических цепей с помощью матрицы соединений. Для использования Mathcad откройте соответствующий файл. Для использования MATLAB скопируйте шаблон лабораторной работы в блокнот и сохраните в файл «название файла латиницей».m в свою папку, откройте его в программе MATLAB. Шаблон:

%%Задайте Т-список в формате [1;2;3]

begin_nodes = [_________]; end_nodes = [_________]; Gv = [_________];

Jv = [_________];

m = max(max(begin_nodes),max(end_nodes)); %всего узлов v = length(Gv); %всего ветвей

%%Формирование матрицы соединений с помощью цикла for

A = zeros(m,v); %-------------------------------------------------------------------------

% Введите выражения для расчета элементов матрицы A

%-------------------------------------------------------------------------

for i=1:_________

A(begin_nodes(i),i) = _________; A(end_nodes(i),i) = _________;

end A(m,:)=[];

%%Формирование узловых уравнений

%-------------------------------------------------------------------------

%Введите выражения для расчета матрицы узловых проводимостей и

%задающих токов. Транспонирование матрицы осуществляется знаком '

68