ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2025
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
- 1 -
Лекция 6 Условный экстремум
П.1. Условный экстремум. Постановка задачи. Необходимые условия условного экстремума
(без использования метода неопределенных коэффициентов Лагранжа)
Рассмотрим функцию от переменных: ( ) Пусть известны m дополнительных условий
1( x1,..., xn m ) 0 |
|||||
(*) |
|||||
........................... |
|||||
( x ,..., x |
) 0 |
||||
n m |
|||||
m |
1 |
||||
называемых условиями связи ( |
( |
) |
( |
) – некоторые |
|
функции ) .
Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям связи, обозначим это множество :
M (x1,..., xn m ) | 1(x1,..., xn m ) 0,..., m (x1,..., xn m ) 0 .
Определение. |
Говорят, что функция f (x1,..., xn m ) имеет условный минимум |
||||
(максимум) при условиях связи (*) в точке M |
(x0 |
,..., x0 |
n m |
) , если существует |
|
0 |
1 |
||||
окрестность U (M0 ) |
точки , такая, что для любой точки , принадлежащей |
||||
множеству U (M0 ) , выполнено неравенство |
|||||
f (M ) f (M0 ). |
|||||
() |
|||||
Пусть функции f (M ), 1(M ),..., m (M ) имеют непрерывные частные производные по всем переменным в некоторой окрестности рассматриваемой
точки |
M |
(x0 |
,..., x0 |
) . Составим матрицу из частных производных функций |
||||||||||
0 |
1 |
n m |
||||||||||||
( |
) ( |
) в точке |
M |
(x0 |
,..., x0 |
) : |
||||||||
0 |
1 |
n m |
||||||||||||
1 |
... |
1 |
... |
1 |
||||||||||
x1 |
xn 1 |
|||||||||||||
xn m |
||||||||||||||
...... |
......... |
....... . |
||||||||||||
m |
m |
m |
||||||||||||
... |
... |
|||||||||||||
x |
x |
x |
||||||||||||
1 |
n 1 |
n m |
||||||||||||
Пусть отличен от 0 хотя бы один из миноров этой матрицы – го порядка ( то есть ранг этой матрицы равен )
Пусть для определенности
1 |
......... |
1 |
||||||
D( 1 |
,..., m ) |
xn 1 |
xn m |
|||||
........ ......... |
....... |
0 . |
||||||
D( xn 1 |
,..., xn m ) |
|||||||
m |
......... |
m |
||||||
xn 1 |
xn m |
|||||||
- 2 -
Из теоремы о существовании и дифференцируемости неявных функций, определяемых системой уравнений, получаем, что существует окрестность точки M0 (x10 ,..., x0n m ) , в которой определены и дифференцируемы неявные функции:
xn 1 1 (x1,..., xn )
............................. ,
xn m m ( x1,..., xn )
определяемые системой уравнений (*).
1случай. Пусть функции 1,..., m могут быть выписаны явно. Тогда задача об условном экстремуме функции f при условиях связи (*) сводится к задаче об обычном экстремуме сложной функции
g(x1,..., xn ) f (x1,..., xn ,1(x1,..., xn ),....,m (x1,..., xn )) .
Пример 1. Рассмотрим задачу о поиске условного экстремума функции
при условии связи |
|||
Выразим переменную |
из условия связи: |
, подставим это |
|
выражение в выражение для функции |
: |
||
( |
) |
||
Далее ищем экстремум функции одной переменной, как обычно: |
|||
( |
) |
при |
|
Найдем значение , используя условие связи: |
Отсюда |
||
получаем точку возможного условного экстремума: ( |
). Из рисунка видим, |
||
что эта точка является точкой условного минимума функции ( ).
2 случай. Пусть не удается явно выписать выражения для функций 1,..., m . Пусть функции f (M ), 1(M ),..., m (M ) имеют непрерывные частные производные по всем переменным в некоторой окрестности рассматриваемой точки M0 (x10 ,..., x0n m ),
якобиан не равен 0 в точке . Следовательно, в некоторой окрестности точки существуют и дифференцируемы неявные функции
xn 1 1(x1,..., xn ),..., xn m m (x1,..., xn ) . |
|
Предположим, что функция ( ) имеет условный экстремум в точке |
при |
условиях связи (*). |
- 3 -
Сложная функция g(x1,..., xn ) f (x1,..., xn ,1(x1,..., xn ),....,m (x1,..., xn )) имеет в точке |
||||||
N |
(x0 ,..., x0 ) безусловный экстремум. Вычислим первый дифференциал dg(N |
) : |
||||
0 |
1 |
n |
0 |
|||
n m |
f |
|||||
dg(N0 ) |
dxi . |
|||||
i 1 |
x |
|||||
i |
||||||
Точка |
– точка экстремума, следовательно, ( ) |
Но dxn 1 ,..., dxn m - |
||||
дифференциалы неявных функций. Поэтому мы не можем сделать вывод о том,
что в точке |
выполнено |
||||||
( |
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ). |
||||||
Найдем дифференциалы зависимых переменных |
Используем |
||||||
условия связи (*): |
|||||||
1 ( x1,..., xn m ) 0 |
|||||||
........................... |
|||||||
( x ,..., x |
) 0 |
||||||
n m |
|||||||
m |
1 |
||||||
Возьмем дифференциал от левых и правых частей этих равенств, используем инвариантность 1-го дифференциала:
1 dx ... |
||||
x |
1 |
|||
1 |
||||
...... |
||||
m |
||||
dx ... |
||||
1 |
||||
x1
1 |
dx |
0 |
|||
xn m |
n m |
||||
...... |
......(**) |
||||
m |
dx |
0 |
|||
xn m |
n m |
||||
Мы предположили, что в окрестности точки M 0 якобиан |
не равен 0: |
||||
1 |
......... |
1 |
|||
xn 1 |
xn m |
0 . |
(***) |
||
........ ......... |
....... |
||||
m |
......... |
m |
|||
xn 1 |
xn m |
||||
Рассмотрим систему (**) как систему из m уравнений относительно m неизвестных dxn 1 ,..., dxn m . Определитель этой системы совпадает с определителем в
левой части соотношения (***), он не равен 0, следовательно, решения системы (**) существуют. Найдем эти решения:
dxn 1 ... (dx1,..., dxn )
................................. .
dxn m ... (dx1,..., dxn )
Подставим эти выражения для дифференциалов dxn 1 ,..., dxn m в исследуемое уравнение:
n m f
dg x dxi 0 .
i 1 i
Получим уравнение вида
A1dx1 ... Andxn 0 ,
- 4 -
содержащее только дифференциалы независимых переменных |
Левая |
||||
часть последнего равенства должна быть равна 0 для любых значений |
|||||
дифференциалов |
, следовательно, должны быть справедливы |
||||
равенств |
|||||
A1 0 |
|||||
........... |
|||||
A 0 |
|||||
n |
|||||
Выписанная система из уравнений вместе с |
условиями связи (*) и является |
||||
системой из ( |
) уравнений, позволяющей вычислить координаты |
||||
точки условного экстремума. |
|||||
Таким образом, найдена система из ( |
) уравнений, представляющая собой |
||||
необходимое условие наличия условного экстремума в точке M |
(x0 ,..., x0 |
n m |
). |
||
0 |
1 |
||||
Пример 2. Решим задачу примера 1 вторым способом. Возьмем дифференциал от функции , приравняем его нулю. Приравняем также нулю первый дифференциал от условия связи. Допишем условие связи, получим систему
{ |
. |
|||
Выразим из второго уравнения дифференциал |
через |
|||
дифференциал |
подставим в первое уравнение, |
|||
получим |
||||
( |
) |
|||
отсюда, учитывая условие связи, получим |
||||
{ |
||||
следовательно, |
Точка ( |
) является точкой возможного |
||
условного экстремума. |
||||
П.2. Необходимые условия условного экстремума в случае одного уравнения связи
(без использования метода неопределенных коэффициентов Лагранжа)
Рассмотрим задачу о поиске условного экстремума функции ( |
) |
|||||||||||
при условии связи |
( |
) |
||||||||||
Справедлива теорема. |
||||||||||||
Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки ( |
) |
|||||||||||
1) функции ( |
) ( |
) имеют непрерывные производные 1-го |
||||||||||
порядка по всем переменным; |
||||||||||||
2) y (M0 ) 0 ; |
||||||||||||
3) M 0 - точка условного экстремума. |
||||||||||||
Тогда в точке ( |
): |
|||||||||||
f |
f |
0 |
||||||||||
(i 1, n) . |
||||||||||||
xi |
y |
y |
xi |
|||||||||
- 5 -
Доказательство. Из условий 1), 2) теоремы следует, что в некоторой
окрестности точки |
( |
) определена дифференцируемая неявная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция y y(x1...xn ) , более того, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
xi |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
(i 1, n) . |
(**) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь производные в левой части берутся в точке |
( |
), производные в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
правой части берутся в точке |
( |
). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача об условном экстремуме сводится к задаче об обычном экстремуме |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сложной функции f (x1,..., xn , y(x1,..., xn )) g(x1,..., xn ) |
. Следовательно, все производные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции в точке |
( |
) |
должны быть равны нулю: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда получаем |
, (в точке |
(i 1, n) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
f |
y |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
y |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
........................... |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
f |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
n |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Используем соотношения (**): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
f |
x |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
............................ |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
f |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
f |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
y |
y |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
................................... . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
f |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
y |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
y |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▲ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Опишем, как можно использовать утверждение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теоремы для поиска условного экстремума в задаче, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рассмотренной ранее. Имеем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условие связи: |
( |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||