ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2025
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
- 6 - |
||||||||||
Выпишем соотношение, доказанное в теореме: |
||||||||||
. |
||||||||||
Дополним условием связи, получим систему |
||||||||||
{ |
( |
) |
, |
|||||||
решаем, находим координаты точки возможного экстремума:
П.3. Условный экстремум. Необходимые условия условного экстремума
Метод неопределенных коэффициентов Лагранжа |
||||||||||
Рассмотрим функцию |
переменных: f (M ) f (x1,..., xn , xn 1,..., xn m ). |
|||||||||
Теорема. |
||||||||||
Пусть |
||||||||||
1) |
M |
(x0 |
,..., x0 |
) является точкой условного экстремума для функции f (x ,..., x |
) |
|||||
0 |
1 |
n m |
1 |
n m |
||||||
при условиях связи (*): |
||||||||||
1 ( x1,..., xn m ) 0 |
||||||||||
(*) |
||||||||||
........................... |
||||||||||
( x ,..., x |
) 0 |
|||||||||
n m |
||||||||||
m |
1 |
|||||||||
2) функции f (x1,..., xn m ) , 1(x1,..., xn m ),..., m ( x1,..., xn m ) имеют непрерывные частные
производные первого порядка по всем переменным в некоторой окрестности точки
M 0 .
3) в точке
1 |
......... |
1 |
||||
xn 1 |
xn m |
|||||
J |
........ ......... |
....... |
0 . |
|||
m |
......... |
m |
||||
xn 1 |
xn m |
|||||
Тогда существуют числа |
0 ,..., 0 такие, что точка (x0 ,..., x0 |
, 0 |
,..., 0 ) |
является |
||||||||||||||
1 |
m |
1 |
n m |
1 |
m |
|||||||||||||
стационарной точкой функции Лагранжа L(x1 ,..., xn m , 1 |
,..., m ) : |
|||||||||||||||||
m |
||||||||||||||||||
L(x1 ,..., xn m , 1 |
,..., m ) f (x1 ,..., xn m ) k k ( x1 ,..., xn m ) . |
|||||||||||||||||
k 1 |
||||||||||||||||||
Здесь |
– так называемые неопределенные множители Лагранжа. |
|||||||||||||||||
Доказательство. |
||||||||||||||||||
1) Вычислим производные функции |
относительно переменных |
|||||||||||||||||
L f |
k |
k , ( |
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) . |
|||||||||||||||
m |
||||||||||||||||||
x |
i |
x |
i |
k 1 |
x |
i |
||||||||||||
:
(**)
- 7 -
Фиксируем коэффициенты 1 ,..., m такими, чтобы m производных функции
по переменным |
( |
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) |
были равны нулю в точке M 0 : |
||||||||
L |
f |
m |
k |
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) |
|||||||
k |
0 ( |
(***) |
|||||||||
x |
x |
x |
|||||||||
i |
i |
k 1 |
i |
||||||||
Система уравнений (***) является системой из m линейных уравнений |
|||||||||||
относительно неизвестных 1 ,..., m . Определитель этой совпадает с якобианом ,
но в силу условий теоремы |
в точке |
Следовательно, система (***) |
|||||
является системой из |
уравнений с квадратной невырожденной матрицей, |
||||||
следовательно, она имеет единственное решение 1 ,..., m . |
|||||||
Фиксируем это решение : 0 |
,..., 0 . |
||||||
1 |
m |
||||||
2) Докажем, что, если |
0 ,..., |
m |
0 , то есть равны нулю производные |
||||
1 |
1 |
m |
|||||
( |
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) |
то производные функции и по другим переменным |
|||||
равны нулю в точке M 0 .
Приведем некоторые дополнительные рассуждения, на которые сошлемся ниже. 1. Якобиан не равен нулю в точке , следовательно, в некоторой точке
окрестности точки M 0 существуют и дифференцируемы m неявных функций от переменных x1,..., xn :
xn 1 xn 1 (x1,..., xn )
................................. .
xn m xn m ( x1,..., xn )
2. M 0 - точка условного экстремума, следовательно, ее координаты удовлетворяют условиям связи
1 (M0 ) 0 |
|||
................... |
|||
(M |
) 0 |
||
0 |
|||
m |
|||
3. M 0 - точка условного экстремума функции f |
при условиях связи (*) , |
||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому сложная функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||
g(x1,..., xn ) f (x1,..., xn , xn 1(x1,..., xn ),..., xn m (x1,..., xn )) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
имеет безусловный экстремум в точке ( |
) , и ее производные первого |
||||||||||||||||||||||||||||||
порядка должны быть равны нулю в этой точке: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
g |
f |
n m |
f |
x j |
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
(i 1, n) . |
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
i |
x |
i |
x |
j |
x |
i |
||||||||||||||||||||||||
j n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. Производные от сложных функций |
|||||||||||||||||||||||||||||||
k (x1,..., xn , xn 1(x1,..., xn ),..., xn m (x1,..., xn )) (k 1, m) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
по всем переменным |
должны быть равны нулю, так как 1 |
0,...,m 0 : |
|||||||||||||||||||||||||||||
k |
n m |
k |
x j |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
, (i 1, n, k 1, m) . |
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
i |
x |
x |
i |
|||||||||||||||||||||||||||
j n 1 |
j |
||||||||||||||||||||||||||||||
Вернемся к доказательству теоремы. Имеем:
- 8 -
L |
f |
m |
k |
f |
̅̅̅̅̅) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
{ |
( |
выразим из соотношений (1)} = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
i |
i |
k 1 |
x |
i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n m |
f |
x j |
m |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j n 1 |
j |
i |
k 1 |
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
={ 1 ,..., m |
выбраны так, что формула (***) верна. Выразим и подставим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производные |
( |
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) из соотношений (***) |
}= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n m |
x j |
m |
k |
m |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k x |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j n 1 |
i |
k 1 |
k 1 |
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
m |
m |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
={ bij |
bij }= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i 1 j 1 |
j 1 i 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
n m |
k |
x j |
m |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 1 |
j n 1 |
j |
k 1 |
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
n m |
k |
x j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x j |
xi |
xi |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 1 |
j n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n m |
x j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так как |
k |
k |
=0 |
в силу соотношений (2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j n 1 |
j |
i |
i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, если в функции Лагранжа |
положить |
0 |
,..., |
m |
0 |
, где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты |
0 ,..., 0 являются решениями системы (***), то верны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соотношения
(****)
{ |
0 |
,..., 0 такие, что точка |
|||||||
Следовательно, действительно существуют числа |
|||||||||
1 |
m |
||||||||
(x0 |
,..., x0 |
, 0 ,..., 0 ) является стационарной точкой функции Лагранжа |
|||||||
1 |
n m |
1 |
m |
||||||
L(x1 ,..., xn m , 1 ,..., m ) : |
|||||||||
m |
|||||||||
L(x1 ,..., xn m , 1 ,..., m ) f (x1 ,..., xn m ) k k ( x1 ,..., xn m ) . |
|||||||||
k 1 |
|||||||||
▲ |
|||||||||
Замечание. Система (****) является системой из |
уравнений |
||||||||
относительно |
переменных x0 |
,..., x0 |
, 0 |
,..., 0 |
. Эта система является |
||||
1 |
n m |
1 |
m |
||||||
необходимым условием наличия условного экстремума в точке . Таким образом, вычислив все решения системы (***), найдем множество точек, «подозрительных» на наличие условного экстремума. Подтвердить наличие
- 9 -
условного экстремума в найденной точке можно, используя второй дифференциал функции Лагранжа ( смотри следующий пункт).
Часто заранее известно, например, исходя из геометрических соображений, что функция обладает условным экстремумом, следовательно, «подозрительная» точка действительно является точкой условного экстремума.
П.4. Условный экстремум. Достаточные условия наличия условного экстремума
(с использования метода неопределенных коэффициентов Лагранжа). Алгоритм решения задачи о поиске точек условного экстремума
Пусть точка ( |
) является стационарной точкой функции |
||||||||||||||
Лагранжа |
Ответ на вопрос о наличии условного экстремума в точке |
||||||||||||||
( |
) зависит от знака приращения |
в точке |
Имеем: |
||||||||||||
( |
) |
( |
) |
||||||||||||
( |
) |
( |
) |
||||||||||||
( ∑ |
∑ |
) |
|||||||||||||
( ∑ |
∑ |
) |
|||||||||||||
Здесь |
, т.к. |
– стационарная точка функции Для независимых |
|||||||||||||
переменных |
верно, что |
Для зависимых |
|||||||||||||
переменных верны равенства: |
∑ |
( |
) Найдем |
||||||||||||
выражения для дифференциалов |
( |
) используя условия |
|||||||||||||
связи, подставим их в выражение для |
. |
||||||||||||||
Окончательно получим |
( |
), где |
– квадратичная форма. |
||||||||||||
Аналогично тому, как это было сделано в случае безусловного экстремума, можно показать, что, если квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной, то функция имеет условный минимум (максимум) в точке
Рассмотрим алгоритм решения задачи поиска точек условного экстремума
функции ( |
) при условиях связи |
|||
1( x1,..., xn m ) 0 |
||||
........................... |
||||
(x ,..., x |
) 0 |
|||
n m |
||||
m |
1 |
|||
1. Составляем функцию Лагранжа
m
L(x1 ,..., xn m , 1 ,..., m ) f (x1 ,..., xn m ) k k ( x1 ,..., xn m )
k 1
- 10 - |
||||
Находим стационарные точки ( |
) ( вообще говоря, их может |
|||
быть несколько). |
||||
2. Строим для каждой стационарной точки функцию |
||||
( |
) |
( |
) |
|
Вычислим для этой функции второй дифференциал, который является |
||||
квадратичной формой переменных |
( |
) |
||
3. Возьмем дифференциалы от левых и правых частей уравнений, входящих в систему (*), получим систему вида
{ .
Разрешим эту систему относительно дифференциалов зависимых переменных
. Это можно сделать, так как определитель этой системы |
||
совпадает с якобианом который по предположению не равен нулю. |
||
Подставим полученные выражения для дифференциалов |
в |
|
выражение для квадратичной формы . Получим квадратичную форму |
||
( |
) Исследуем ее на знакоопределенность. Если она является |
|
положительно (отрицательно) определенной, то соответствующая стационарная точка является точкой минимума (максимума). Если же квадратичная форма не является знакоопределенной, то условного экстремума в соответствующей точке нет.
Пример. Рассмотрим задачу о поиске условного экстремума, решаемую выше:
( ) |
условие связи |
|||||
Строим функцию Лагранжа: |
||||||
( |
) |
|||||
Ищем стационарные точки: |
||||||
, |
||||||
{ |
||||||
получим |
Подставим в выражение для функции значение |
|||||
и вычислим второй дифференциал |
||||||
эта квадратичная форма является положительно определенной, следовательно,
точка |
( |
) является точкой условного минимума. |
|
Рассмотрим еще один пример. |
|||
Пример. Найдем условный экстремум функции |
условии |
||
связи |
x2 y2 9 0. |
||
Составим функцию Лагранжа: |
|||
L 6 5x 4 y (x2 y2 9). |
|||
Ищем стационарные точки: