Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

сопротивления грунта забивке сваи. Найти, какая доля кинетической энергии груза расходуется при ударе груза о сваю на деформацию этих тел.

5.38.Брусок массой т без трения соскальзывает с высоты h по клину с углом α и

массой т1. Найти скорость клина в момент, когда брусок коснется пола при условии, что трение между полом и клином отсутствует.

5.39.Тело массой т вкатывается на горку, которая может скользить по

горизонтальной плоскости. Отношение массы горки к массе тела равно т1/т = п. Высота горки H. Какой минимальной линейной скоростью должно обладать тело, чтобы достигнуть вершины горки? Трение между поверхностью тела, горки и плоскостью отсутствует.

5.40.Потенциальная энергия частицы массой m в некотором силовом поле

определяется выражением U = a(x2 + y2 + z2 ), где а – положительная константа.

Частица начинает двигаться без начальной скорости из точки с координатами (3, 3, 3). Найдите ее скорость в тот момент, когда она будет находиться в точке с координатами

(1, 1, 1).

5.41. Потенциальная энергия тела массой m , находящегося в гравитационном поле Земли, может быть представлена в виде:

где b – некоторая константа, а R – радиус Земли. Какой скоростью обладало бы тело, если бы оно могло беспрепятственно достичь центра Земли, начав свой путь из точки, находящейся на расстоянии 2R от центра?

б) Законы изменения и сохранения момента импульса и энергии

5.42. Частица массой m =10 г равномерно движется по окружности радиуса R =10 см со скоростью υ = 20 см/с. Чему равен ее момент импульса относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости движения?

Укажите на рисунке направление вектора L .

5.43. Частица массой m =10 г движется в плоскости x, y . Ее кинематический закон движения имеет вид x =υ t , где υ = 20 см/с; y = b , где b =10см. Чему равен момент импульса частицы относительно оси z ? Как он меняется со временем?

Укажите на рисунке направление вектора L .

5.44. Шарик массой m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью υ0 . Найдите величину момента импульса шарика относительно точки

бросания в зависимости от времени движения.

5.45. Цилиндр радиуса R =10 см и массой m = 200 г вращается вокруг своей геометрической оси, делая n =10 об/с. Найдите момент импульса цилиндра, если: а)

он сплошной; б) полый. Укажите на рисунке направление вектора L .

5.46. Сплошной цилиндр радиуса R =10 см и массой m = 200 г катится по столу без проскальзывания, делая n =10 об/с. Найдите момент импульса цилиндра

Пуля застревает в стержне. На какую высоту поднимется нижний конец стержня? Какая доля энергии перейдет в тепло в результате удара?

5.57. Сплошной цилиндр, радиус которого R, раскрутили до угловой скорости ω0 и плашмя положили на стол. С какой скоростью будет катиться цилиндр к моменту, когда прекратится его проскальзывание?

5.58. Шар массой m0 =10 г, двигавшийся со скоростью υ0 = 5м/с, испытал упругоеr лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели (вектор υ0 перпендикулярен оси гантели). Масса каждого шарика гантели m = 5 г, расстояние

между ними l =1см. Стержень, соединяющий шарики, невесом. Определить скорость движения центра масс гантели и ее угловую скорость вращения после удара. Вся система находится на гладком столе.

5.59. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг общей вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков

опускают на нижний, после чего, благодаря трению, они начинают вращаться как единое целое. Найдите угловую скорость вращения дисков. Какое количество тепла выделилось при взаимодействии дисков?

радиусом R = 0,5 м и застревает в нем. Удар пришелся на расстоянии l = 40 см выше центра масс шара. Спустя некоторое время движение шара по столу переходит в качение без проскальзывания. Считая, что m0 << m , определить скорость центра масс

шара в этот момент.

5.61. На гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень длиной l =10 см и массой m = 200 г. В одну из точек стержня упруго ударяется шарик массой m0 = 50 г, движущийся перпендикулярно к стержню. На каком расстоянии x от

середины стержня должен произойти удар, чтобы шарик передал стержню всю свою кинетическую энергию. При каком соотношении масс это возможно?

5.62. По горизонтальной поверхности без проскальзывания катится обруч массой m =100 г и радиусом R = 5 см. Обруч наезжает на ступеньку высотой h =1 см. С какой минимальной скоростью он должен катиться, чтобы преодолеть препятствие?

5.63. С высоты Н с горки без проскальзывания скатывается бочка с водой. Масса бочки m1 , масса воды m2 . Определить скорость центра масс бочки в конце пути, если вязкость воды пренебрежимо мала. Массой крышек бочки пренебречь.

6. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

6.3.Материальная точка совершает гармонические колебания по закону синуса с амплитудой А. Найти, сколько времени (в долях периода) требуется для смещения точки на расстояние A/2 от ее положения равновесия. Сколько времени требуется для перехода точки из этого положения в положение, наиболее удаленное от положения равновесия?

6.4.Как, зная амплитуду смещения a и амплитуду скорости υ0 , найти частоту

гармонических колебаний ω?

6.5. Частица колеблется вдоль оси x по закону x = 0,1 sin(6,28t) (м). Найдите среднее значение модуля скорости частицы υ :

а) за первую 1/4 часть T, б) за период колебаний T.

6.6. Частица колеблется вдоль оси x по закону x = a cosωt. Считая вероятность W нахождения частицы в интервале от – a до +a равной единице, найти зависимость от x

плотности вероятности w = dWdx нахождения частицы в данной области. (Вероятность

обнаружения частицы в данной области W равна отношению времени пребывания частицы в этой области к T/2).

6.7. Шарик совершает колебания по закону x1 = 3cos(ωt + π/ 3) (см) относительно подставки, к которой он прикреплен через пружину. Подставка в свою очередь колеблется относительно стола по закону x2 = 8sin(ωt + π/ 6) (см). Оба

колебания происходят вдоль вертикали. Запишите уравнение колебаний шарика x(t) относительно стола.

6.8.Уравнения движения частицы, движущейся в плоскости x, y, имеет вид: x = a sin ωt, y = b cos ωt, где a и b – амплитуды колебаний вдоль осей x и y. Найдите уравнение траектории частицы и направление ее движения по этой траектории.

6.9.При какой длине l период колебаний математического маятника будет равен 1 с? Чему равен период колебаний T математического маятника длины l = 1 м.

6.10.В кабине лифта подвешен маятник, период колебаний которого в неподвижном лифте равен T0. Каков будет период T колебаний этого маятника, если

лифт станет опускаться с ускорением a = 34 g?

6.11. Жидкость налита в трубку, изогнутую так, что ее колена образуют с горизонтом углы α и β. Найти период колебаний жидкости, налитой в эту трубку и выведенной из положения равновесия, если длина осевой линии трубки l. Капиллярные силы и вязкость не учитывать.

6.12. Предположим, что по одному из диаметров Земли просверлен канал. Принимая Землю за однородный шар плотностью ρ = 5,5·103 кг/м3, найти время τ

движения тела от поверхности Земли до ее центра. Гравитационная постоянная G = 6,67·10−11 м3/кг·с2.

6.13.Найти период малых колебаний однородного стержня длины l относительно горизонтальной оси, отстоящей на 1/4 его длины от конца стержня.

6.14.При какой длине l стержня период его колебаний относительно одного из его концов будет равен 1 с. Чему равен период колебаний T при длине стержня в 1 м.

6.15.Система состоит из горизонтально расположенного однородного диска массой m = 3 кг и радиусом R = 20 см, висящего на тонком стержне, прикрепленном к

центру диска. Коэффициент кручения стержня k = 6 Нрадм . Определите частоту малых крутильных колебаний диска.

6.16.Горизонтальный тонкий стержень АВ подвешен на двух параллельных нитях длиной l каждая. Нити прикреплены к концам стержня АВ. Стержень поворачивают на небольшой угол вокруг вертикальной оси OO', проходящей через середину стержня, и предоставляют самому себе. Найти период крутильных колебаний стержня.

6.17.Круглый диск радиусом R и массой m, подвешен к потолку на трех

параллельных нитях длиной l = 1 м каждая (трифилярный подвес). Определите период крутильных колебаний диска.

6.18.За 10 с амплитуда свободных колебаний уменьшилась в 10 раз. За какое время τ амплитуда уменьшится в 100 раз.

6.19.За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в n = 5 раз. Найдите

коэффициент затухания β.

6.20.Найти логарифмический декремент затухающих колебаний математического маятника длиной l = 50 см, если в процессе колебаний за время τ = 8 мин он теряет 99% своей энергии.

6.21.Логарифмический декремент затухающих колебаний маятника θ = 0,02. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний после п = 100 полных колебаний маятника.

6.22.За время, в течение которого система совершает N = 100 колебаний, амплитуда уменьшается в n = 5 раз. Найдите добротность системы Q.

6.23.Добротность колебательной системы Q = 2, частота свободных колебаний

ω= 100 с−1. Определите собственную частоту колебаний этой системы ω0.

6.24.Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний в системе

без затухания при частотах ω1 = 400 рад/с и ω2 = 600 рад/с равны между собой. Найдите резонансную частоту.

6.25. Амплитуды скоростей вынужденных гармонических колебаний в системе без затухания равны между собой при частотах ω1 = 100 с-1 и ω2 = 300 с−1. Найдите резонансную частоту, при которой амплитуда скорости максимальна.

6.26.С какой скоростью υ распространяются волны вдоль прямой, если разность фаз колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на расстояние l = 10 см, равна ∆φ = π/4, и частота колебаний ν = 3,0 Гц.

6.27.Найти разность фаз ∆φ колебаний двух точек, лежащих на луче и

отстоящих на расстояние l = 2 м друг от друга, если длина волны λ = 1 м.

6.28. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстояние l = λ/12 для момента времени t = T/6. Амплитуда колебаний

A = 0,05 м.