Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

вую скорость вращения груза ω и силу натяжения нити T.

Рис. 10

АНАЛИЗ

Рассматриваемое тело движется по окружности радиуса r с постоянной скоростью. Следовательно, ускорение его направлено к центру (оси) вращения и равно

a = an = ω2 r . (1)

При этом движении на тело действуют только две силы – сила тяжести Р и сила натяжения нити F. Запишем II закон Ньютона

Одну из осей следует обязательно направить по нормали к траектории, к центру окружности, вторую – вертикально.

РЕШЕНИЕ

Заменяя векторную запись II закона Ньютона соотношениями между проекциями

Для того чтобы найти ω, воспользуемся соотношением (1):

где r – радиус окружности, по которой движется тело, равный r = l sin α .

Подставив значения an и r в уравнение (6), получим

ω2 = l cosg α , ω = lcosg α = 5,6 с−1 .

Вданном случае центростремительная сила равна векторной сумме силы тяжести и силы натяжения нити6.

Задача 9

Автомобиль массой m = 1600 кг едет с постоянной скоростью v = 36 км/ч по вы-

пуклому мосту, радиус кривизны которого r = 83 м (рис. 11). Найти силу давления автомобиля на мост в его верхней точке.

Рис. 11

АНАЛИЗ

Найти непосредственно по данным задачи силу давления автомобиля на мост мы не можем, но, рассматривая условия движения автомобиля, можно найти силу нормальной реакции N – силу, с которой мост давит на автомобиль. Эти силы по III закону Ньютона по модулю равны друг другу.

Автомобиль движется с постоянной скоростью по дуге окружности. Следователь-

6 При решении всякой задачи на динамику криволинейного движения следует указывать, из проекции каких сил складывается центростремительная сила в каждом отдельном случае.

но, полное ускорение автомобиля направлено к центру и равно

a = an = vr2 .

В созданииэтого ускорения участвуют только две силы – сила тяжести Р и сила нормальной реакции N. Сила тяги мотора и сила трения, также действующие на автомобиль, направлены по касательной к траектории и в верхней точке уравновешивают друг друга, поэтому их можно не рассматривать. Поскольку обе силы Р и N коллинеарны, II закон Ньютона можно записать сразу в скалярном виде, считая направление вниз положительным.

РЕШЕНИЕ

По II закону Ньютона имеем

man = P − N ,

откуда

Искомая сила давления автомобиля на мост

Pn = N =13,8 103 Н .

Полезно показать учащимся, что в любой другой точке моста нормальное ускорение будет создаваться проекцией силы тяжести на радиальное направление и силы нормальной реакции.

Задача 10

С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиуса r = 90 м, если коэффициент трения колес о почву µ = 0,4? На какой угол α от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости v1 = 15 м/с (рис. 12)?

АНАЛИЗ

При движении по кругу мотоциклист будет обязательно отклоняться от вертикального положения и движение его в принципе не будет поступательным (мотоциклист и мотоцикл рассматриваются как единое твердое тело). Следовательно, скорости различных точек отличны друг от друга. Для того чтобы найти скорость центра масс, надо

найти нормальное ускорение этой точки. Согласно теореме о движении центра масс его ускорение не будет зависеть от точек приложения сил, а на мотоциклиста действуют силы: сила тяжести, сила нормальной реакции, сила трения, сила тяги, направленные по касательной к траектории, и сила трения покоя, направленная к центру. Так как скорость мотоциклиста постоянна, сумма проекций всех сил на направление по касательной равна нулю. В наше рассмотрение войдут только сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения покоя fтр, направленная но нормали к траектории, к центру ее

кривизны. Ускорение центра масс мотоциклиста, равное по абсолютной величине7 v2 , r

направлено также к центру.

Однако, эти силы приложены в разных точках, вследствие чего на мотоциклиста будет действовать еще вращающий момент. Этот момент равен нулю, если результирующая силы нормальной реакции и силы трения пройдет через центр тяжести (центр масс) мотоциклиста. Из рис. 12 видно, что условие будет выполнено, если

Сила трения, о которой идет речь, представляет собой силу трения покоя, так как в радиальном направлении мотоциклист не имеет скорости. Следовательно

7 Так как радиус траектории, по которой движется мотоциклист, очень велик, отличием радиуса окружности, по которой фактически движется центр масс, от заданной величины r можно пренебречь.

где N – сила нормальной реакции.

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим соотношения между проекциями ускорения и действующих сил на оси, одна из которых направлена вертикально вверх, вторая – по нормали к центру окружности.

Уравнение (1) может быть заменено следующими двумя скалярными равенствами:

Неравенство (3) с учетом выражений (4) дает

f тр ≤ µmg

или

mrv2 ≤ µmg .

Следовательно,

vmax = µgr =19 м с.

При скорости v = v1 < vmax имеем

Легко видеть, что при v = vmax

tgα = µ .

Законы сохранения импульса и энергии

Следует прежде всего обратить внимание учащихся на вопрос о пределах применимости законов сохранения.

Закон сохранения импульса (количества движения) можно применять, строго говоря, только к замкнутым системам, т. е. к таким системам тел, на которые не действуют внешние силы, либо их векторная сумма равна нулю. Характер внутренних сил не является существенным; к числу этих сил могут относиться и силы трения. Кроме того,