Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

систему можно считать замкнутой в течение такого малого промежутка времени, на протяжении которого в системе возникают силы взаимодействия, во много раз большие, чем внешние силы.

Втех случаях, когда результирующая всех внешних сил не равна нулю, т. е. система не является замкнутой, но проекция результирующей внешней силы на какое-либо направление во время взаимодействия равна нулю, сумма проекции количеств движения всех тел системы на это же направление остается постоянной.

При составлении уравнений на основании закона сохранения импульса следует обращать внимание на то, что скорости всех рассматриваемых тел должны обязательно отсчитываться относительно одной и той же системы отсчета, а также на векторный характер закона.

Система тел, механическая энергия которых постоянна, называется консервативной. Условие консервативности – отсутствие перехода механической энергии в другие виды энергии и обмена механической энергии между телами, принадлежащими к данной системе, и внешними телами.

Первое условие выполняется всегда, когда между телами системы действуют силы, величина и направление которых зависят только от координат взаимодействующих тел,

–консервативные силы, либо когда работа внутренних неконсервативных сил равна нулю. (Неконсервативными силами являются, например, сила трения, силы, возникающие при неупругом ударе.)

Второе условие выполняется в тех случаях, когда алгебраическая сумма работ всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

Внеконсервативных системах изменение полной механической энергии системы будет равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и внутренних неконсервативных сил.

Указание. Если выражение для деформации упругого тела уже известно из лекционного курса, то задачу 5 § 4 следует рассмотреть в данном разделе.

Задача 1

На горизонтальной плоскости на рельсах стоит платформа с песком общей массой M = 5·103 кг. В платформу попадает снаряд массой т = 5 кг, летящий со скоростью v = 400 м/с. Снаряд летит вдоль рельс под углом α = 36° к горизонту (рис. 13). Найти скорость платформы, если снаряд застревает в песке.

АНАЛИЗ

Эта задача не может быть решена непосредственно с помощью законов Ньютона. Платформа приобретает скорость и в результате взаимодействия со снарядом, но закон изменения силы этого взаимодействия во времени не известен. Поэтому надо выяснить, можно ли решить эту задачу с помощью законов сохранения.

Рис. 13

На систему платформа-снаряд, кроме силы взаимодействия – силы, внутренней для этой системы, действуют сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения. В данном случае вследствие негоризонтального направления скорости снаряда сила нормальной реакции, действующая на платформу, во время взаимодействия платформы и снаряда будет меняться. Следовательно, закон сохранения количества движения к данной системе не применим.

Но если пренебречь силой трения (по сравнению с силой взаимодействия платформы и снаряда), сумма проекций внешних сил на горизонтальное направление будет равна нулю. Это значит, что проекция вектора полного импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:

p1x = p2 x ,

где p1x – проекция импульса системы на ось x до взаимодействия, p2x – после взаимодействия.

РЕШЕНИЕ

До взаимодействия вектор импульса системы

p1 = mv

или в скалярной форме

p1x = mvcosα ;

после взаимодействия

p2 = p2 x = (m +M )u .

На основании выражения (1)

mvcosα = (m +M )u .

Отсюда получаем

u = mvcosα = 0,32 м с. m +M

Задача 2

Акробат массой М = 50 кг, имея при себе груз m = 5 кг, прыгает под углом α = 60° к горизонту со скоростью v0 = 6 м/с (рис. 14). В наивысшей точке своей траектории он бросает груз горизонтально назад с относительной скоростью v' = 2 м/с. На сколько увеличится дальность прыжка акробата вследствие этого?

Рис. 14

АНАЛИЗ

Увеличение дальности прыжка на величину ∆s обусловлено увеличением горизонтальной составляющей скорости гимнаста вследствие броска груза.

Во все время движения на систему акробат-груз действует внешняя сила – сила тяжести. Но в верхней точке траектории, т. е. в момент броска, скорости акробата и груза строго горизонтальны, проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю. Следовательно, импульс системы до и после броска будет постоянным, при этом следует предположить, что время броска ничтожно мало.

Задачу удобно решать в системе координат, движущейся со скоростью v, где v = v0 cos α – горизонтальная составляющая скорости акробата до броска.

где v2 – горизонтально направленная скорость акробата после броска, t – время движе-

ния акробата от верхней точки траектории до земли, которое находится на основании закона независимости движения:

Для вычисления ∆v = v2 – v применяем закон сохранения импульса в системе x', y',

которая движется со скоростью v. В этой системе координат импульс системы акробат-

груз до броска p1 = 0, после броска – p2 = M∆v – m(v' – v), где М – масса акробата. Сле-

довательно,

M ∆v −m(v′− ∆v)= 0 ,

Подставив формулы (2) и (3) в равенство (1), получим

Задача 3

Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v = 100 м/с, разрывается на две рав-

ные части на высоте Н = 40 м. Одна часть падает через t = 1 с на землю точно под местом взрыва. Найти величину и направление скорости второй части снаряда сразу после взрыва.

АНАЛИЗ

Силы, возникающие при взрыве снаряда, настолько велики, что систему снаряд – две его части можно считать замкнутой. Следовательно, полный вектор импульса сис-

α

Рис. 15

До взрыва вектор p1 направлен горизонтально. После взрыва полный вектор импульса p2 равен сумме векторов импульсов двух частей снаряда, на которые он разрывается. Один из этих векторов согласно условию задачи направлен строго по вертикали, направление и величину другого вектора надо определить. Равенство (1) можно переписать в скалярной форме, если ввести координатные оси: ось x – по горизонтали, ось y

– вертикально вверх или вниз. Можно провести решение и непосредственно из вектор-

где m – масса каждой части снаряда, v – его скорость; u1 – начальная вертикальная ско-

рость 1-й части снаряда, u2 – скорость 2-й части.

РЕШЕНИЕ

Как видно из рис. 15,

(mu2 )2 = (2mv)2 +(mu1 )2 ,

откуда

u2 = 4v2 + u12 ,

α = arcsin 2uv1 .

На основании закона падения для 1-й части снаряда:

Тогда скорость 2-й части снаряда

u2 = 202 мс;