Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18180

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вектор скорости u2 будет направлен к горизонту под углом

α = arcsin 0,17 =10°.

Задача 4

Камень брошен с высоты h = 2 м под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью v0 = 6 м/с. Найти скорость камня в момент падения на землю, если сопро-

тивлением воздуха можно пренебречь.

АНАЛИЗ

Задача может быть решена с помощью законов кинематики, однако такой метод решения будет излишне громоздким.

Во все время полета на камень действует только сила тяжести. Эта сила, как известно, зависит от координат камня, поэтому для системы Земля – камень применяем закон сохранения энергии

∆Eк + ∆Eп = 0 ,

(1)

где ∆Eк и ∆Eп – соответственно изменения кинетической и потенциальной энергий системы8. Потенциальная энергия системы есть энергия взаимодействия тел, входящих в систему. Изменением кинетической энергии Земли можно пренебречь9.

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим значение каждого слагаемого выражения (1). Скорость камня изменилась от значения v0 в первом состоянии до значения v во втором.

Следовательно,

∆Eк =

mv2

−

mv2

0

,

(2)

2

2

где т – масса камня. Потенциальная энергия системы уменьшилась при переходе из первого состояния во второе. Следовательно,

∆Eп = −mgh.

(3)

Подставив выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим

8Разность ∆E = E2 – E1, где E2 всегда конечное, а E1 – начальное значение энергии.

9Это замечание относится ко всем задачам, в которых рассматривается система, включающая Землю.

v2 −v02 −2gh = 0 ,

откуда

v = v02 +2gh = 8,6 м с.

Задача 5

Камень массой m = 100 г, соскользнув с наклонной плоскости высотой h = 3 м, приобрел в конце ее скорость v = 6 м/с. Найти работу силы трения.

АНАЛИЗ

Работа силы трения не может быть найдена из формулы A = Fs, если не известны угол наклона плоскости и ее длина; значит, единственно возможный путь решения – это использование закона изменения механической энергии.

На камень во время движения действуют три силы: сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения fтр. Работа силы нормальной реакции, внешней по отно-

шению к системе камень-Земля, равна нулю, так как угол (N,s)= π2 .

Работа силы трения, искомая величина, заведомо нулю не равна, поэтому закон сохранения механической энергии к системе камень-Земля применять нельзя, т. е.

∆Eк + ∆Eп ≠ 0 . (1)

Знак неравенства обусловлен действием именно силы трения. Поэтому изменение полной энергии системы камень-Земля будет равно работе этой силы, т. е.

∆Eк + ∆Eп = Aтр .

(2)

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим в отдельности значения слагаемых, входящих в левую часть уравнения

(2):

∆Eк = m2v2 ,

так как начальная скорость камня v0 = 0,

∆Eп = −mgh

(знак «минус» говорит о том, что потенциальная энергия системы уменьшилась). Тогда уравнение (2) запишем в следующем виде:

m2v2 − mgh = Aтр ,

откуда, вычисляя, получим

Aтр = −1,2 Дж .

(Знак «минус» объясняется тем, что сила трения препятствует перемещению камня.)

Задача 6

На нити длиной l = 30 см подвешен точечный грузик. Какую наименьшую начальную скорость надо сообщить грузу в нижней точке В (рис. 16), чтобы он начал вращаться в вертикальной плоскости?

Рис. 16

АНАЛИЗ

Так как груз подвешен на нити, а не на стержне, то в верхней точке С скорость груза заведомо не может равняться нулю. Поэтому выясним сначала, какой минимальной скоростью должен обладать груз в верхней точке С при вращении в вертикальной плоскости. Для того чтобы тело двигалось по окружности заданного радиуса r (а в данном случае r = l), сумма проекций всех действующих сил на нормальное (к траектории) направление должна равняться произведению массы тела на величину нормального ус-

корения, т. е. произведению m v2 . r

На груз, подвешенный на нити, во время его движения действуют две силы: сила тяжести Р и сила натяжения Т. В точке С обе силы направлены по вертикали вниз.

= P +T .

Следовательно,

mvC2

l

По мере уменьшения скорости в точке С будет уменьшаться сила натяжения. Если vC = min, то Т = 0. Поэтому минимальная скорость груза в точке С определяется соот-

ношением

mv2

= mg ; vC2 = gl .

(1)

C

l

Скорость груза в точке В может быть теперь определена из закона сохранения энергии, применимость которого объясняется тем, что сила натяжения Т работы во время движения не совершает. Это означает, что система груз-Земля может рассматриваться как консервативная (при этом мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, трени-

ем в точке подвеса), и тогда имеем

∆Eк + ∆Eп = 0 .

(2)

РЕШЕНИЕ

При переходе грузика из положения B в положение С потенциальная энергия системы груз-Земля возрастет на величину

∆Eп

= mg 2l ,

кинетическая энергия груза изменится на величину

∆Eк =

mv2

−

mv2

C

B

.

2

2

Подставив выражения (3) и (4) в равенство (2), находим

v2 = v2 + 4gl .

B

C

Учитывая выражение (1) для v2

получим окончательный результат

C

vB2

= 5gl , vB

=

5gl = 3,8 м с.

Задача 7

(3)

(4)

С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз. С какой высоты h, считая от вершины (рис. 17), груз сорвется со сферы? Радиус сферы r = 90 см.

АНАЛИЗ

Как и предыдущая, данная задача сводится в основном к нахождению условий движения груза по заданной траектории. В каждый данный момент сумма проекций всех действующих на груз сил на направление, нормальное к траектории, должна рав-

няться произведению man = m v2 . r

Рис. 17

На груз во время его движения по сфере действуют две силы: сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны сферы. Уравнение движения груза в проекции на ось x может быть записано следующим образом:

mrv2 = mg cosα − N .

При движении груза по сфере скорость будет возрастать под действием проекции силы тяжести на касательное направление, а сила его давления на сферу, а значит и сила нормальной реакции со стороны сферы будут уменьшатся, и в момент срыва груза с траектории N = 0. Из этого условия получим, что

v2

= gcosα .

(1)

r

Второе уравнение для скорости v груза в момент срыва может быть получено из за-

кона сохранения энергии системы груз-Земля, применимого на основании того, что сила нормальной реакции во время движения груза работы не совершает, трение отсутствует по условию. Поэтому

∆Eк + ∆Eп = 0 .

(2)

РЕШЕНИЕ

При скольжении груза по сфере потенциальная энергия системы уменьшается на величину

∆Eп = −mgh ,

(3)

где h – искомая высота. Кинетическая энергия груза возрастает на величину

∆Eк =

mv2

.

(4)

2

Подставив выражения (3) и (4) в уравнение (2), находим

v2 = 2gh .

(5)

Учитывая, что cosα = r −r h , выражение (1) может быть записано следующим образом:

v2 = g(r − h).

(6)

При совместном решении уравнений (5) и (6) получим h = 3r = 30 см.

Задача 8

Для забивки сваи массой m = 100 кг используется копер, подъемная часть которого, так называемая «баба», массой M = 400 кг падает с высоты h = 1,5 м. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая уходит в землю на глубину s = 5 см. Считать удар между сваей и падающим грузом абсолютно неупругим.

АНАЛИЗ

Согласно условию удар между падающим грузом и сваей неупругий, груз и свая после удара будут двигаться вместе. При прохождении пути s системой свая-груз на нее действуют сила тяжести, и сила сопротивления грунта. Работа этой последней силы заведомо не равна нулю. Следовательно, к системе груз-свая-Земля закон сохранения энергии не применим, т. е.

∆Eк + ∆Eп ≠ 0 .

Знак неравенства обусловлен работой силы сопротивления, поэтому можно записать

∆Eк + ∆Eп = Aсопр .

(1)

На пути s потенциальная энергия системы уменьшается на величину

∆Eп = −(m +M )gs ;

(2)

кинетическая энергия уменьшается до нуля, поэтому

Смотрите также файлы