Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18148

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

z

ωx LOz = 0 ,

0 = I колеса ω0 + I чел.+скам. ωx ,

ω0

I колеса

ωx = −

ω0 ,

O

I чел. +скам.

Можно доказать теорему о том, что момент импульса тела относительно произвольной оси A равен сумме момента импульса этого тела относительно оси, проходящей через центр масс, и [r·mvц. м.].

LA = Lц. м. + [r mvц. м. ].

§ 3. Тензор момента инерции

Всестороннее сжатие тела

z Fz

Fy

y

x Fx

k xx

k = k yx

kzx

Fx = k xx ∆x + k xy ∆y + k xz ∆z,Fy = k yx ∆x + k yy ∆y + k yz ∆zFz = kzx ∆x + kzy ∆y + kzz ∆z;

F = k∆r .

k xy

k xz

k yy

k yz

– тензор упругости.

kzy

kzz

Момент импульса твёрдого тела относительно

z

точки

Lz

LO

Lz = [r mv],

O

r

mv LO = [r mv]

r

Момент импульса твёрдого тела относитель-

z

но оси

Разобьём тело на участки ∆mi:

ri

∆mi

LО = ∑[ri ∆mi vi ]={vi = [ωri ]}= ∑∆mi [ri [ωri ]]=

= ∑∆mi (ω(ri ri )−ri (ωri ))=

O

y =

∑

∆m

(ω(x 2

+ y2

+ z2 )−r

(ω

x

i

+ω

y

y

i

+ω

z

z

)).

i

i

i

i i

x

i

x

Найдём проекции вектора LO на оси x, y, z:

L x = ∑∆mi (ωx (xi2 + yi2 + zi2 )− xi (ωx xi +ωy yi +ωz zi ))=

= (∑∆mi (yi2 + zi2 ))ωx −(∑∆mi x i yi )ωy −(∑∆mi x i zi )ωz ;

L y = −(∑∆mi yi x i )ωx + (∑∆mi (x i2 + zi2 ))ωz −(∑∆mi yi zi )ωz ;

Lz = −(∑∆mi zi xi )ωx −(∑∆mi zi yi )ωy + (∑∆mi (x i2 + yi2 ))ωz .

L = Iω, где I – некоторая матрица, которая называется тензором момента инерции.

∑∆mi (yi2 + zi2 )

I= − ∑∆mi yi x i

−∑∆mi zi x i

−∑∆mi x i yi ∑∆mi (x i2 + zi2 )

−∑∆mi zi yi

− ∑∆mi x i zi

− ∑∆mi yi zi =

∑∆mi (x i2 + yi2 )

I xx

I xy

I xz

I yx

I yy

I yz

;

I zx

I zy

I zz

2

2

I xx = ∑∆mi (yi

+ zi

)

I yy

= ∑∆mi

(x i2 + zi2 ) – осевые моменты инерции (обычные моменты инерции относи-

I

zz

=

∑

∆m

(x 2

+ y

2 )

i

i

i

тельно осей);

I xy = I yx = −∑∆mi x i yi

I yz

= I zy

= −∑∆mi yi zi

– центробежные моменты инерции.

I

= I

= −

∑

∆m

x

z

zx

xz

i

i

i

ПРИМЕР

Вращение материальной точки

z

m(y2 + z2 )

− mxy

L =

− myx

m(x2 + z2 )

ω

− mzx

− mzy

mv

L x = −mxz ωz ,

L y = −myz ωz ,

r

L z = m(x 2 + y2 )ωz .

y

x

ПРИМЕР

− mxz

− myz (ωx ,ωy ,ωz ); m(x2 + y2 )

L

ω

L || ω

z

Две материальные точки, которые вращаются по

ω

окружности (расположены симметрично)

ω= 0 i +0 j+ωz k ,

m

m

v

2m(y2 + z2 )

I =

0

v

0

y

x

0

0

2m(x 2 + z2 )

0

,

0

2m(x 2 + y2 )

L x = 0,

L y = 0,

L || ω.

L z = 2m(x 2 + y2 )ωz ;

Если рассматривать любое тело, вращающееся относительно оси симметрии, то тензор инерции принимает диагональный вид:

I xx

0

0

I =

0

I yy

0

,

0

0

I zz

а вектор момента импульса сонаправлен с вектором угловой скорости, L || ω.

Тело любой формы имеет три взаимно перпендикулярных оси, для которых тензор инерции имеет симметричный (диагональный) вид. Если начало отсчёта совместить с центром масс тела, то эти оси называются главны-

z ми осями.

c

1

m(b2

+ c2 )

12

a

y I =

0

0

b

x

0

121 m(a2 + c2 ) 0

0

0 . 121 m(a2 + b2 )

§ 4. Закон сохранения механической энергии

Энергия – количественная мера движения материи, единая для всех форм этого движения.

I. Работа (А)

Работа – мера перехода энергии из одного вида в другой или мера передачи энергии от одного тела к другому.

1

F ∆A = (F ∆r)= F ∆r cos(F∆r).

∆r

2

2

A = ∫Fdr

.

r1

1

r2

Работа при прямолинейном движении

F

2

Fx

A = ∫Fx dx .

1

2

x

1

O

1

2 x

Работа при вращательном движении

Если ∆α → 0, то ∆r r;

(r, F)

∆A = F ∆r

, где ∆r – смещение точки приложения силы F.

r

∆r

F

∆r = r ∆α , cos(F,r)= sin(F,r) ∆α . Отсюда

∆A = (F,r)= F ∆r cos(F,r)= Fr sin(F,r) ∆α =

∆α

r'

= {Frsin(F,r)= M }= M ∆α .

,

A = ∫2 (M dα)

.

∆A = (M ∆α)

1

Смотрите также файлы