Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

= 72,5 10−21 м3 .

Сделать презентацию

Скачать файл (38,20Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18229

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

бый спиртовой раствор) ρ1 = 0,9·103 кг/м3.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Мелкие частички, взвешенные в жидкости или в газе, ведут себя подобно молекулам, поэтому изменение их концентрации с высотой подчиняется распределению Больцмана:

n = n0 e	− U	(1)
	kT ,

где п – концентрация на высоте h; U – потенциальная энергия на высоте h; n0 – концентрация на высоте h = 0, принимаемой за начало отсчета потенциальной энергии.

Потенциальная энергия одной частички на высоте h может быть записана как
U =V ( ρ − ρ1 )gh ,	(2)

где V – объем одной частички.

Поставляя в равенство (1) логарифм отношения nn0 , равного по условию задачи двум, и выражение (2) для потенциальной энергии, получим

Рассматривая каждую частичку гуммигута как правильный шар искомого радиуса r, найдем r = 2,58·10-7 м.

Необходимо указать студентам на то, что распределение Больцмана не зависит от уровня, выбираемого за начало отсчета для потенциальной энергии.

Задача 12

Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при температуре t = 17°C и давлении p = 1 атм, если эффективный диаметр d молекул воздуха можно принять равным 3·10-8 см.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Средняя длина свободного пробега может быть непосредственно рассчитана по формуле

λ =	1
λ =	2πd 2 n0 .	(1)

Если концентрацию n0 молекул выразить как отношение

При изотермическом расширении с уменьшением давления линейный рост λ будет продолжаться только до тех пор, пока длина свободного пробега не станет соизмеримой с размерами сосуда. В последнем случае формула (1) теряет смысл и длина свободного пробега молекул определяется главным образом размерами сосуда.

Задача 13

Найти концентрацию, при которой среднее расстояние между молекулами в сто раз меньше, чем длина свободного пробега молекул газов: а) азота (d = 3,1·10-8 см); б) во-

дорода (d = 2,3·10-8 см).

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Для оценки среднего расстояния между молекулами будем считать, что на каждую молекулу приходится кубик, ребро которого равняется заданному расстоянию а. Тогда имеет место соотношение

n0α3 =1.

Отсюда расстояние между молекулами

−1

α = n0 3 . (1)

Длина свободного пробега зависит не только от концентрации, но и от эффективного диаметра d:

n0 = kTp ,

то при подстановке получим

λ =	kT	=10−5 см .
	2πd 2 p

После расчета следует разобрать, как будет меняться длина свободного пробега в зависимости от температуры и давления в различных процессах при условии, что эффективный диаметр предполагается постоянным. Полученные результаты удобно занести в таблицу:

	V = const	p = const	T = const

λ(p)	const	–	~		1
			~		p
					p

λ(T)	const	~ T		–

λ =	1
λ =	2πd 2 n0 .	(2)
Из условия λ =100 а и формул (1) и (2) находим
n0 = (	2πd 2 100)−32 .	(3)

Подставляя числовые значения, найдем, что искомая концентрация для водорода n0 = 8,7·1024 м-3; для азота n0 = 3,5·1024 м-3.

Задача 14

Известно, что относительное число молекул, длина свободного пробега которых лежит в пределах от х до x + dx определяется формулой

dNN = Ae −λ0 dx ,

где А – некоторый постоянный коэффициент, λ0 – средняя длина свободного пробега. Найти коэффициент А и относительное число молекул, длина свободного пробега которых больше, чем 2λ0.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Отношение dNN показывает вероятность того, что длина свободного пробега моле-

кулы лежит в пределах от х до x + dx. Вероятность того, что длина свободного пробега молекулы лежит в пределах от x1 до х2, может быть найдена интегрированием:

x	Ae−	x
W = ∫2
W = ∫2		λ0 dx .	(1)
x1

Вероятность того, что длина свободного пробега лежит в пределах от нуля до бесконечности, обязательно равна единице:

∞∫ Ae−	x
∞∫ Ae−	λ0 dx =1.	(2)
0

Произведя интегрирование, найдем значение коэффициента А, называемого обычно нормирующим множителем. (В максвелловском распределении нормирующим множи-

телем является сомножитель	4	; находится он аналогично.) Итак,
	π

∞− x

∫Ae λ0 dx =1,

откуда

A = 1 .

λ0

Найдя множитель А, можно найти относительное число молекул, длина свободного пробега которых равна или больше 2λ0:

∆N		= ∞∫		1			e−	x
∆N				1				λ0 dx .
N				λ	0			λ0 dx .
N			2λ0	λ
			2λ0
После интегрирования получим
	∆N		= e−2			= 0,13 .
	N		= e−2			= 0,13 .
	N

Задача 15

Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено водородом при нормальном давлении р0 и температуре t = 17°C. Радиусы цилиндров соответственно равны r1 = 10,0 см и r2 = 10,5 см. Внешний цилиндр приводят во вращение со скоростью ν = 15 об/с. Какой момент нужно приложить к внутреннему цилиндру, чтобы он оставался неподвижным? Длина цилиндров l = 30 см. Эффективный диаметр молекул водорода d = 2,3·10-8 см.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Слой молекул газа, адсорбированный внутренней поверхностью вращающегося цилиндра, будет обладать той же направленной скоростью, что и цилиндр, т. е.

u2 = 2πνr2 .

(1)

В пространстве между цилиндрами (на расстоянии ∆r = 0,5 см) направленная скорость молекул будет непрерывно (и, мы предположим, линейно17) уменьшаться до нуля: молекулы, адсорбированные внешней поверхностью меньшего (внут-

17 Предположение линейной зависимости скорости для плоской задачи, т. е. если ∆r << r.

Рис. 34

реннего)	цилиндра,	будут	неподвижны	(рис.	34),
т. е.
	u1 = 0 .		(2)
Сила, действующая на боковую поверхность внутреннего цилиндра,

F = dudr η S ,

где η – коэффициент внутреннего трения водорода при заданных условиях, S – боковая

поверхность внутреннего цилиндра,	du – градиент направленной скорости.
	dr
Момент, действующий на внутренний цилиндр,
	M = Fr1 .		(4)
Подставляя значение F и учитывая, что S = 2πr1l , получим
	M = 2πr lη du .		(5)
	1	dr
		dr