Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

нием линейно, то

du = u2 − u1 . dr ∆r

Подставив сюда значения u1 и u2 из выражений (1) и (2), найдем по формуле (5) момент, действующий на внутренний цилиндр:

M = 3,2 10−3 Н м.

При решении задачи следует обратить внимание студентов на размерность коэффициента внутреннего трения и, хотя расчет этого коэффициента производился по формуле (6), выводить размерность коэффициента надо из формулы (3), так как именно при макроскопическом описании явления было введено понятие коэффициента внутреннего трения и определен его физический смысл.

После решения следует рассмотреть зависимость коэффициента внутреннего трения (и теплопроводности) от температуры и давления при разных процессах. Результаты удобно свести в таблицу:

При изотермическом расширении коэффициенты внутреннего трения и теплопроводности не зависят от давления только до тех пор, пока длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению, т. е. до тех пор, пока длина свободного пробега много меньше размеров сосуда.

Задача 16

Сколько жидкого воздуха испарится за 1 час из плохо откаченного дьюаровского сосуда, если поверхность стенок сосуда S = 6·10-2 м2; расстояние между стенками l = 1 см; температура жидкого воздуха t1 = –180°C, температура наружных стенок t2 = 17°C? Теплота испарения жидкого воздуха Λ = 202 кДж/кг; в пустом сосуде, т. е. когда температура обеих стенок t2 = 17°C, давление воздуха p0 = 0,13 Н/м2. Эффективный диаметр молекул воздуха d = 3·10-8 см.

АНАЛИЗ

Прежде всего следует вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха, заключенного между стенками дьюаровского сосуда. Если полученная величина

окажется меньше, чем расстояние между стенками сосуда, то можно использовать формулу для коэффициента теплопроводности:

где cV – удельная изохорная теплоемкость газа.

Если же окажется, что длина свободного пробега больше или равна расстоянию между стенками, то формула (1) будет неприменима.

Если λ0 > l, то соударениями молекул можно пренебречь и учитывать только удары молекул о стенки сосуда.

В этом случае в пространстве между стенками имеются как бы два встречных потока молекул; один поток– молекулы, летящие со средней скоростью и имеющие среднюю энергию, соответствующую температуре более горячей стенки; другой поток – молекулы, летящие уже со средней скоростью и обладающие средней энергией, соответствующей температуре холодной стенки.

РЕШЕНИЕ

Из условий задачи получим, что

Для расчета теплоты, получаемой 1 см2 холодной стенки сосуда за 1 с, необходимо знать число ударов, испытываемых стенкой за 1 с, и энергию, теряемую одной молекулой при ударе. При расчете предположим, что от стенки к стенке движется одна треть всех молекул, и все молекулы, летящие от стенки с температурой Т, обладают скоро-

где T2 – температура наружной стенки, T1 – температура жидкого воздуха.

Число ударов, испытываемых стенкой за 1 с,

z = N3 τ1 ,

где τ – время между двумя последовательными ударами молекулы о холодную стенку, N – общее число молекул.

Учитывая, что

получим значение энергии, теряемой молекулами за 1 с в результате ударов о холодную стенку:

Если учесть выражение (4) для δW0, то найдем

Энергия, теряемая молекулами за промежуток времени ∆t, а следовательно, и теплота, получаемая жидким воздухом,

Общее число молекул N может быть рассчитано из формулы p = VN kT , что при начальных условиях (давление W0, температура T2) дает

Подставив выражения (8) и (6) в формулу (7), найдем

Находим теперь искомую величину:

m = QΛ = 0,014 кг .

Задача 17

Оценить из графика на рис. 35 эффективный диаметр молекулы газа и рассчитать его для аргона при t = 27°C, если известно, что потенциальная энергия взаимодействия молекул аргона выражается следующим законом:

E = − rA6 + rB12 ,

где r – расстояние между центрами молекул; A и В – константы, имеющие для аргона такие значения:

A = 10-27 Дж·м; B = 1,6·10-27 Дж·м.

АНАЛИЗ

Рассмотрим график зависимости взаимной потенциальной энергии двух молекул от расстояния между ними (сплошная кривая на рис. 35).

Рис. 35

Пунктирная прямая изображает полную энергию молекул. Длина линии CD в вы-

бранном масштабе равна кинетической энергии молекул при расстоянии r = OK.

При рассмотрении графика видно, что на больших расстояниях потенциальная энергия молекулы равна нулю и полная энергия ее равна кинетической энергии.

По мере сближения молекул кинетическая энергия растет, причем максимального значения она достигает в точке А (r = r'), где потенциальная энергия имеет минимум, и сила, действующая на каждую из молекул, равна нулю. При расстояниях r < r' преобладающей становится сила отталкивания. По мере уменьшения расстояния потенциальная энергия растёт, кинетическая – уменьшается. В точке В (r = rэф) полная энергия равна потенциальной, кинетическая – нулю. При использовании формулы длины свободного пробега эффективный диаметр (d = rэф) считают не зависящим от температуры; это соответствует замене участка LB графика вертикальной прямой. Ввиду большой крутизны кривой на этом участке подобное приближение вносит сравнительно малую погрешность.

В выражении потенциальной энергии взаимодействия, заданном в условии задачи, первое отрицательное слагаемое соответствует наличию силы притяжения, которая будет преобладающей при сравнительно больших расстояниях. Второе слагаемое соответствует наличию силы отталкивания, которая преобладает на малых расстояниях и препятствует сближению молекул.

РЕШЕНИЕ

Эффективный диаметр можно оценить, если подсчитать то наименьшее расстояние, на которое могут сближаться молекулы, летящие навстречу друг другу со скоростью, равной средней квадратичной при данной температуре и центральном ударе.

Для рассматриваемых двух молекул полную энергию можно считать постоянной, если пренебречь действием других молекул. На большом расстоянии потенциальная энергия молекул практически равна нулю, и полная энергия равна сумме кинетических энергий обеих молекул.

Вмомент наибольшего сближения кинетическая энергия молекул обратится в нуль

иполная энергия будет равна энергии потенциальной, т. е.

Из этого уравнения получаем

rэф6 = 805 10−48 см6 ;