Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

При сравнении выражений (7) и (6) находим

Подставим последовательно выражение (8) в уравнения (4) и (3):

Cx = CV − R .

Полученная величина теплоемкости положительна, следовательно, охлаждение газа будет сопровождаться отдачей теплоты, нагревание – поглощением теплоты.

Задача 8

На рис. 39 изображен график некоторого процесса идеального газа. Как меняется температура газа при переходе из состояния 1 в состояние 2? Какова молярная теплоемкость газа при этом процессе?

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Эта задача аналогична предыдущей, только здесь задается сразу график процесса, а не аналитическая зависимость между объемом и давлением. Из графика видно, что в состоянии 2 температура выше, чем в состоянии

1 (точка 2 лежит выше изотермы T = T1), т. е. при переходе газа из состояния 1 в состояние 2 внутренняя энергия увеличивается. Переход также сопровождается положительной работой газа (V2 > V1). Следовательно, при таком процессе происходит поглощение теплоты.

Очевидно, что молярная теплоемкость газа Рис. 39 при таком процессе будет больше, чем при изо-

хорном. Рассчитать молярную теплоемкость можно так же, как и в предыдущем случае, если учесть, что аналитическая зависимость между давлением и объемом, согласно графику, имеет вид

p = p0 + kV .

Следует проанализировать полученное выражение:

1) если p0 = 0, т. е. между давлением и объемом имеет место прямая пропорциональность, то теплоемкость независимо от значения коэффициента k будет равна

Cx = CV + R2 ;

2) если k = 0, то этот случай будет соответствовать изобарному процессу и

Cx = CV + R .

§4. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Вэтом параграфе затрагиваются вопросы, связанные только с расчетом коэффициента полезного действия обратимых циклов и вычислением изменения энтропии.

Эти вопросы имеют различную степень важности, и при недостатке времени лучше сократить рассмотрение энтропии, чем изучение циклов.

При рассмотрении циклов необходимо учитывать те же замечания, что и в предыдущем параграфе.

При расчете изменения энтропии следует обращать особое внимание учащихся на то, что энтропия так же, как и внутренняя энергия, является функцией состояния, т. е. изменение ее не зависит от процесса, а однозначно определяется начальным и конечным состояниями системы.

Задача 1

Температура пара, поступающего из котла в паровую машину, t1 = 227°C; температура в конденсаторе t2 = 27°C. Какова теоретически максимальная работа, которую можно получить при затрате количества теплоты Q = 1 ккал?

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Для того чтобы работа, совершаемая тепловой машиной, была максимальной, необходимо, чтобы цикл, по которому она работает, был обратимым. При наличии только двух термостатов – нагревателя и холодильника, тепловая машина может работать только по одному обратимому циклу – по циклу Карно.

Коэффициент полезного действия этого цикла

η = T1 −T2 .

T1

Искомая работа может быть найдена из отношения

η = A ,

Q1

где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя. Отсюда

A = Q1 T1 −T2 =1,7 кДж .

T1

Задача 2

Тепловая машина работает по циклу Карно. Температуры термостатов t1 = 400°C, t2 = 20°C. Время, за которое осуществляется цикл Карно, τ = 1 с. Найти мощность двигателя, работающего по этому циклу, если известно, что рабочим телом служат 2 кг воздуха; давление в конце изотермического расширения равно давлению в начале адиабатного сжатия.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Для того чтобы процесс был обратимым, он должен протекать бесконечно медленно (быть квазистатическим). Тот факт, что рассматриваемый цикл происходит в течение одной секунды, свидетельствует о необратимости процессов, составляющих цикл, и лишь приближенно (явно завышая значение)

коэффициент полезного действия можно рассчитывать по формуле

Количество теплоты, получаемой рабочим телом от нагревателя в процессе 1-2

По условию p4 = p2, а давления в начале и в конце адиабатного сжатия связаны соотношением

Подставив выражения (4), (3) и (1) в формулу (2), получим

Задача 3

Найти термический18 коэффициент полезного действия цикла, состоящего из двух изобар и двух изохор, и сравнить его с коэффициентом полезного действия цикла Карно, проведенного между крайними (максимальной и минимальной) температурами первого цикла (рис. 41). Известно, что при изобарном расширении объем увеличивается вдвое; температура в конце изобарного расширения t2 = 800°C; в конце изохорного процесса 2-3 t3 = 700°C. Рабочее тело – воздух; отводимое тепло не используется для нагревания рабочего тела.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Переход из состояния 1 в состояние 2 происходит изобарно; обратимость этого процесса может быть обеспечена только при наличии очень большого числа нагревателей, причем температура каждого следующего нагревателя, используемого при нагревании, должна быть очень близка температуре предыдущего. Это замечание относится и к нагревателям, используемым при изохорном нагревании 4-1, и к холодильникам, используемым в процессах 2-3 и 3-4.

Для упрощения расчета η найдём работу, Рис. 41 совершенную не всем рабочим телом, а одним молем газа. Поглощенное тепло также будем рассчитывать на один моль, так как коэф-

фициент полезного действия тепловой машины не зависит от массы рабочего тела.

В соответствии с этим на графике (см. рис. 41) по оси абсцисс отложен молярный объем, и площадь прямоугольника, изображающего рассматриваемый цикл, равняется молярной работе за цикл. Очевидно,

18 Термическим коэффициентом полезного действия принято называть отношение

η = A , где A — работа за цикл, Q1 – полное количество теплоты, полученное рабочим

Q1

телом от всех нагревателей.