ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.04.2025
Просмотров: 18228
Скачиваний: 6
2 |
= (Fi |
∆ri )+ (fi |
∆ri )− ∆Wi п |
− ∆Wi п . |
||
∆ |
mi vi |
|||||
2 |
||||||
Перенесём два последних слагаемых в правую часть уравнения:
2 |
|||
∆ |
mi vi |
+ ∆Wiпвнеш |
|
2 |
|||
Введём некоторые обозначения:
+ ∆Wiп |
= (Fi ∆ri |
)+ (fi ∆ri ). |
(1) |
|
внутр |
d |
d |
||
W к = ∑ |
m v 2 |
– кинетическая энергия системы тел; |
|||
i i |
|||||
2 |
|||||
Wпвнеш |
= ∑Wiвнешп |
– потенциальная энергия системы во внешних силовых полях; |
|||
Wпвнутр |
= ∑Wiвнутрп |
– потенциальная энергия системы во внутренних силовых полях; |
|||
δAвнешd |
= ∑(Fid ∆ri ) – работа внешних неконсервативных сил; |
||||
δAвнутрd |
= ∑(fid ∆ri )– работа внутренних неконсервативных сил. |
||||
Соотношение (1) записано для i-го тела. Записав аналогичные соотношения для всех тел системы и сложив их, получим:
∆(Wк +Wпвнеш +Wпвнутр )=δAвнешd +δAвнутрd
– закон изменения механической энергии системы тел. Обозначим:
W мех =W к +W пвнеш +W пвнутр
– механическая энергия системы тел. Тогда
∆Wмех = δAвнешd +δAвнутрd
– изменение механической энергии системы определяется работой как внутренних, так и внешних неконсервативных сил.
Закон сохранения механической энергии: если работа внешних неконсервативных сил и работа внутренних неконсервативных сил равна нулю, а внешние потенциальные поля стационарны, то механическая энергия системы остаётся постоянной.
W мех = const , если выполняются три условия (одновременно): 1) Aвнутрd = 0 , 2) Aвнешd = 0 , 3) внешние потенциальные поля стационарны.
ПРИМЕР
m1 |
v1 |
h1 |
m2 |
v2 |
|
h2 |
Земля
Система тел m1-m2, внешнее тело – Земля.
W |
m v2 |
m |
2 |
v2 |
; W внеш |
= m gh + m |
gh ; |
W внутр |
kx |
2 |
||||
к |
= |
1 1 |
+ |
2 |
= |
; |
||||||||
2 |
2 |
п |
1 1 |
2 2 |
п |
2 |
||||||||
Aвнешd |
– работа сил сопротивления воздуха, |
Aвнутрd |
– неупру- |
|||||||||||
гая деформация пружины. |
||||||||||||||
§ 5. Абсолютно упругий и неупругий удары
(применение законов сохранения)
I. Неупругий удар
m1 |
v1 |
m2 |
v2 → m1 + m2 |
u |
||||||||||
m v + m v = (m + m |
)u → u = |
m1v1 + m2 v2 |
; |
|||||||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
(m1 + m2 ) |
||||||||
(m1 + m2 )u |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
∆Wмех |
= |
− |
m1v1 |
+ |
m2 v2 |
. |
||||||||
2 |
||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
В выражение (**) подставим (*) и получим:
∆Wмех = − |
m |
m |
v1 − v2 |
2 |
||||||||
1 |
2 |
. |
||||||||||
m1 |
+ m2 |
2 |
||||||||||
II. Абсолютно упругий лобовой удар
Удар абсолютно упругий, если не происходит потери механической энергии.
(*)
(**)
m1 |
v1 m2 |
v2 → m1 |
u1 m2 |
u2 |
Пусть v1, v2 – скорости тел до удара, u1, u2 – скорости тел после удара. |
||||
1. Система замкнута выполняется закон сохранения импульса: |
||||
m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2 u2 . |
(1) |
|||
2.Т. к. удар абсолютно упругий, запишем закон сохранения механической энергии:
m v2 |
+ |
m |
v2 |
= |
m u2 |
+ |
m |
u2 |
|||
1 1 |
2 |
2 |
1 1 |
2 |
2 |
. |
(2) |
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||
Объединим уравнения (1) и (2) в систему и решим её относительно переменных u1, u2:
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||
m1v1 |
+ |
m2 v2 |
= |
m1u1 |
+ |
m2 u2 |
, |
|||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||
m |
v |
+ m |
v |
2 |
= m u |
+ m |
u |
; |
||||||||||
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
||||||||||||
u1 = −v1 +2 m1v1 + m2v2 ,
m1 + m2
u2 = −v2 +2 m1v1 + m2v2 .
m1 + m2
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
1. m1 = m2
u1 = v2 и u2 = v1 – обмен скоростями.
(a) v2 = 0; m2 >> m1: u2 ≈ 0, u1 ≈ -v1.
2.Удар тела массой m1 о неподвижную плиту массой m2 (m2 >> m1, v2 = 0)
После удара u2 ≈ 0; u1 ≈ –v1.
ГЛАВА IV. КОЛЕБАНИЯ
§ 1. Свободные затухающие колебания
I. Вывод дифференциального уравнения
Колебания можно подразделить на механические и электромагнитные.
Механические колебания
Пружинный маятник
k
m
x |
|||
O |
x |
||
Силы
3.Сила упругости Fупр = −kx .
4. Сила сопротивления Fсопр = −rv ,
где r – коэффициент сопротивления.
Уравнение динамики
max = Fупр + Fсопр ;
m |
d 2 x |
= −kx − r |
dx |
; |
||||||
dt |
2 |
dt |
||||||||
d 2 x |
+ |
r dx |
+ |
kx |
= 0 . |
|||||
dt 2 |
m dt |
m |
||||||||
mk =ω02 – собственная частота колеба-
ний в системе без затухания;
mr = 2β – коэффициент затухания.
x ′′+2βx ′+ω02 x = 0 .
Электромагнитные колебания
Электромагнитный контур
1 2 C
R
L
Запишем обобщённый закон Ома для участка цепи 1–R–L–C–2:
IR = (ϕ1 −ϕ2 )−E ,
E = E самоинд = −L dIdt ;
ϕ1 −ϕ2 = qCC ;
I = − dqdtC
Знак «–» объясняется тем, что ток в цепи возникает за счёт убыли заряда на конденсаторе.
− |
dq |
C |
R = |
q |
C |
+ L |
d 2 q |
C |
, |
|||||||||||
C |
dt 2 |
|||||||||||||||||||
dt |
||||||||||||||||||||
d 2 q |
+ |
R dq |
+ |
q |
= 0 ; |
|||||||||||||||
dt 2 |
L |
dt |
LC |
|||||||||||||||||
1 |
= ω02 , |
R |
= 2β . |
|||||||||||||||||
LC |
L |
|||||||||||||||||||
q′′ +2βq′ +ω02 q = 0 .