Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Решая эту систему относительно a и T, получим

Показание динамометра равно сумме сил натяжения двух концов шнура:

F = 2T = 4m1m2 g =11,8 Н . m1 + m2

a1

a2

Задача 1.2

К потолку вагона, движущегося горизонтально, поступательно и прямолинейно с ускорением a0 = 2 м/с2, подвешен на нити груз массой m = 200 г. Найти силу натяжения нити Т и угол α ее отклонения от вертикали.

Рассмотрим движение вагона и груза. Если считать, что груз неподвижен относительно вагона (установившееся состояние), то ускорение груза a = a0. Следовательно, груз движется прямолинейно с постоянным и известным ускорением.

Груз взаимодействует с Землей (сила тяжести mg направлена вертикально вниз) и с нитью (сила натяжения Т направлена вдоль нити вверх), как показано на рис. 2.

Второй закон Ньютона для груза запишется так:

ma = mg + T .

Так как действующие силы лежат в одной плоскости, но не коллинеарны, для получения скалярных соотношений следует выбрать две координатные оси, одна из кото-

рых х горизонтальна и направлена по ускорению, другая у направлена вертикально вниз. При таком выборе осей ax = a0, ay = 0 и в проекциях на координатные оси

ma0 =T sinα , 0 = mg −T cosα .

Решая эту систему, найдем

α = arctg ag0 = arctg 0,2 =11,5o ; T = m g2 + a02 = 2 Н .

Задача 1.3

Грузик массой m = 0,1 кг), подвешенный на нити длиной l = 1 м, движется в горизонтальной плоскости по окружности, при этом нить образует с вертикалью постоянный угол α = 37°. (Такая система называется коническим маятником, так как нить описывает коническую поверхность.) Найти угловую скорость ω груза и силу Т натяжения нити.

Рис. 3

Грузик движется по окружности, следовательно, обладает нормальным ускорением an = ω2R; радиус окружности R = l sin α (рис. 3). Грузик взаимодействует с Землей и нитью, причем векторы mg и Т расположены в вертикальной плоскости.

Второй закон Ньютона для груза запишется так:

ma = mg + T .

Так как вектор скорости v все время перпендикулярен вертикальной плоскости, в которой расположены оба вектора силы, для перехода к скалярным соотношениям нужно ввести три координатные оси: ось х – по касательной к траектории (перпендику-

Рассмотрим поступательное прямолинейное движение двух тел. Доска взаимодействует с Землей (сила тяжести m1g), со столом (сила нормальной реакции N1) и с грузом

(силы нормального давления Fд и трения fтр′ ). Груз взаимодействует с Землей (m2g) и

приложена горизонтальная сила F, направленная так, как показано на рис. 4 (вправо).

Сила трения f ′′ , действующая на груз независимо от того, движется он относительно

тр

доски или нет, направлена в сторону, противоположную его возможной относительной скорости, т. е. противоположно силе F (влево). Соответственно сила fтр′ , действующая

Уравнения второго закона Ньютона для каждого тела:

Для перехода к скалярным соотношениям достаточно двух координатных осей х и у, показанных на рис. 4.

В проекциях на ось х a1x = a1, a2x = a2 и

Величина fтр зависит от силы нормальной реакции N2, действующей на груз; последняя может быть найдена из уравнения для груза в проекциях на ось у. Так как

Сила F стремится вызвать движение груза относительно доски и в зависимости от величины этой силы возникающая между доской и грузом сила трения fтр будет либо силой трения покоя, либо силой трения скольжения. В соответствии с этим ускорения доски и груза а1 и а2 относительно стола будут либо одинаковыми, либо разными.

В первом случае (первый вопрос задачи) груз относительно доски не движется, следовательно, а1 = а2 = a, а сила трения является силой трения покоя, т. е. fтр ≤ µN2, причем из уравнения (2) N2 = m2g. Совместное решение уравнений (1) с учетом равенства ускорений дает

Подставляя максимальное значение силы трения покоя, найдем

т. е. груз не движется относительно доски при F ≤ Fmax = 1,2 Н.

Для ответа на второй вопрос задачи следует выяснить, удовлетворяет ли величина силы F последнему условию.

При F = F1 = 0,5 H условие F ≤ Fmax выполняется; следовательно, а1 = а2, но значение силы трения (покоя) не известно. Уравнения (1) примут вид

При F = F2 = 3 Н F > Fmax и а1 ≠ а2. Сила трения является силой трения скольжения, величина которой может быть найдена так: fтр = µN2 = µm2g = 0,98 Н. Подставив значения fтр и F = F2 в уравнения (1), получим

Ускорения а1 и а2 рассчитаны относительно неподвижного стола. Разность а2 – а1 равна ускорению бруска относительно доски.

2.ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Во многих случаях использование законов Ньютона затруднено из-за того, что действующие силы переменны, а закон их изменения со временем не известен. В таких задачах удобно использовать законы сохранения, позволяющие иногда сразу определить скорости или положения тел после взаимодействия. Некоторые задачи можно решить как с помощью законов Ньютона, так и с помощью законов сохранения. Однако использование законов сохранения обычно приводит к более простому решению.

Изменение импульса системы тел определяется действием только внешних сил, т. с. взаимодействием с телами, не входящими в рассматриваемую систему тел:

dtd ∑pi = F1e + F2e +K,