Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Кинетическая энергия материальной точки либо поступательно движущегося твердого тела Wк = mv2/2. Изменение кинетической энергии каждого тела равно алгебраи-

ческой сумме работ A', А", ... всех сил, действующих на это тело:

где индекс 1 относится к начальному, а индекс 2 к конечному состоянию. Потенциальная энергия обусловлена взаимодействием элементов системы, если

силы взаимодействия консервативны. Консервативными являются силы тяготения и упругости. Силы трения, как и силы неупругой деформации, являются диссипативными. Изменение потенциальной энергии системы равно работе Aвз внутренних консервативных сил, взятой с обратным знаком, при перемещении системы из положения 1 в положение 2:

Абсолютное значение потенциальной энергии может быть определено лишь тогда, когда выбрано начало отсчета потенциальной энергии, т. е. такое взаимное расположение элементов, при котором потенциальную энергию принимают равной нулю. Конкретное аналитическое выражение потенциальной энергии и ее изменения зависит от характера консервативных сил взаимодействия, расчет этих величин производится по формуле

(2.6).

При парном взаимодействии удобно одно из тел считать неподвижным. Тогда изменение потенциальной энергии определяется работой внутренней консервативной силы, действующей только на второе тело; кинетическая энергия системы в этом случае определяется относительной скоростью второго тела.

Полная механическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел и потенциальной энергии системы. Изменение полной энергии ∆W системы равно алгебраической сумме работ внешних сил, действующих на все тела системы и внутренних неконсервативных (диссипативных) сил:

где Ae – сумма работ всех внешних сил, Adis – сумма работ всех внутренних диссипативных сил при переходе системы из состояния 1 в состояние 2.

Если Ae = 0 и Adis = 0, то полная энергия системы остается постоянной (закон сохранения энергии в механике):

Использование равенства (2.9) позволяет не выбирать начало отсчета потенциальной энергии. Закон сохранения энергии выполняется не только тогда, когда работа внешних и диссипативных внутренних сил, рассчитываемая по формуле (2.4), равна нулю, но и когда этой работой можно пренебречь по сравнению с работой внутренних консервативных сил.

Анализ и решение задач проводят в такой последовательности.

1.Выяснить, движение каких тел рассматривается в задаче, что известно о характере движения: начальные положения, траектории, модули и направления начальных скоростей и т. п.

2.Установить причины изменения движения каждого из тел, т. е. выяснить, за счет каких взаимодействий происходят эти изменения.

3.Установить, на какие отдельные процессы по характеру взаимодействий следует разбить весь описанный в задаче процесс. Для этого выясняют, в каких процессах участвует каждое из рассматриваемых тел, какие состояния должны быть выделены. Дальнейший ход решения проводится по отдельным процессам и отдельным состояниям.

4.Для каждого отдельного процесса выяснить, какие тела в нем участвуют, какие тела удобно включить в систему. Таким образом, уготавливается, какие силы, действующие на каждое тело системы, являются в данном процессе внутренними, a какие – внешними.

5.Установив, из каких тел состоит система, выяснить из условий задачи, подчиняется ли система тому или иному закону сохранения, а также какие дополнительные предположения нужно сделать для выполнения этих законов и возможны ли они по условию задачи.

6.Записать в общем виде используемые законы сохранения, указав систему тел и процесс. Последовательность применения законов сохранения зависит от конкретных условий задачи.

7.Закон сохранения энергии записать в виде (2.8) (Wп1 + Wк1 = Wп2 + Wк2) или (2.9). Затем каждое из выражений, входящих в эти равенства, записать в явном виде. Кинетические энергии системы в состояниях 1 и 2 найти суммированием кинетических энер-

гий всех тел системы. Выражение для потенциальной энергии системы или ее изменения найти по формуле (2.6). При использовании закона в форме (2.8) предварительно выбрать начало отсчета потенциальной энергии системы.

8.Закон сохранения импульса записать сначала в векторной форме (2.1). Затем, выбрав оси координат, записать соотношения между проекциями импульсов (2.2) и (2.3). Если импульсы всех тел до и после взаимодействия коллинеарны, достаточно одной оси и соответственно одного скалярного равенства. Если сохраняется только проекция импульса системы на одну из осей, например, ось х (в случае, когда внешние силы не скомпенсированы, но сумма их проекций на ось х равна нулю), следует сразу записать скалярное соотношение (2.2). При записи закона сохранения импульса скорости всех тел должны быть выражены в одной системе отсчета.

9.Полученные в пп. 7 и 8 скалярные уравнения образуют систему, решение которой позволяет рассчитать искомые величины.

10.Работа сил может быть рассчитана либо непосредственно (2.4), либо по измене-

нию энергии (2.5)-(2.7).

Задача 2.1

В платформу с песком общей массой m1 = 2 кг, стоящей на горизонтальных рельсах, попадает «снаряд» массой m2 = 0,02 кг, летевший вдоль рельсов со скоростью v = 2 м/с, и застревает в песке. Найти скорость платформы после попадания «снаряда»,

если последний летел: 1) горизонтально; 2) под углом α = 60° к горизонту (рис. 5).

Рис. 5

До взаимодействия тело m1 покоилось, тело m2 двигалось равномерно и прямолинейно с заданной скоростью v. В результате взаимодействия тела начинают двигаться вместе со скоростью u. Таким образом, взаимодействие носит характер неупругого удара.

Указанные тела удобно рассмотреть как систему; в этом случае сила удара является внутренней силой, изменяющей импульсы каждого из тел. К системе нельзя применить закон сохранения энергии, так как сила неупругой деформации является диссипативной. Применимость закона сохранения импульса выясняется из анализа внешних сил, которыми здесь являются силы тяжести и нормальной реакции рельсов, а также сила трения между рельсами и платформой, но последней можно пренебречь.

В первом случае («снаряд» летит горизонтально) внешние силы скомпенсированы. Поэтому применим закон сохранения импульса

p1 = p2 , где p1 = m2 v, p2 = (m1 + m2 )u.

Если ось х направить по вектору скорости «снаряда», то vx = v, ux = u, и согласно

Во втором случае, когда «снаряд» летит под углом α, внешние силы не скомпенсированы (сила нормальной реакции больше силы тяжести), следовательно, p1 ≠ p2. Однако проекции внешних сил на ось х равны нулю, поэтому p1x = p2x, где

p1x = m2 vcosα , p2 x = (m1 + m2 )u ,

откуда

m2 vcosα = (m1 + m2 )u

и

Задача 2.2

На гладкой горизонтальной поверхности лежат два тела (m1:m2 = 4), между которыми находится сжатая пружина пренебрежимо малой массы. При распрямлении пру-

жины первое тело приобретает кинетическую энергию W к′2 = 3 Дж . Найти потенциаль-

ную энергию сжатой пружины.

До распрямления пружины оба тела покоились. В результате давления пружины при ее выпрямлении оба тела начинают двигаться в разные стороны с разными скоростями. Так как сила, с которой пружина действует на тела, не известна, найти потенци-