Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18195

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

стоянными, причем T1' = T1, T2' = T2. Из сил, действующих на блок, вращающие моменты создают только силы T1′ и T2′ : M1′ = [R,T1′], M′2 = [R,T2′].

Для скалярной записи уравнений второго закона Ньютона достаточно одной координатной оси х, направленной, как показано на рис. 11. При таком выборе оси a1x = a, a2x = –a Для скалярной записи основного уравнения динамики вращательного движения ось z направим по оси вращения «на нас». Моменты сил T1′ и T2′ направлены в проти-

воположные стороны и в проекциях на ось z M1z = T1R, M2z = –T2R. Уравнения для трех тел в проекциях на выбранные оси примут вид

m a = m g −T

, − m

a = m

g −T ,

Iε = T R −T R *.

(2)

1

1

1

2

2

2

1

2

Момент инерции блока – однородного диска – выражается формулой

I =

m

R2

.

(3)

0

2

Решая систему уравнений (1)-(3), найдем

a = g

m1 − m2

= 3,9

м

.

m + m

2

+

m0

с2

1

2

Силу давления блока на ось непосредственно найти нельзя. Однако по третьему закону Ньютона Fдавл = –N, Fдавл = N. Сила нормальной реакции N может быть найдена из условия неподвижности центра масс блока

m0g + T1′+ T2′ + N = 0

или в проекциях на ось х

m0 g +T1 +T2 − N = 0 ,

откуда

N = m0 g +T1 +T2 .

Из уравнений (1)-(3)

T1 = m1 g

4m2 + m0

=1,8 Н; T2 = m2 g

4m1 + m0

=1,4 Н;

2m + 2m

2

+ m

0

2m + 2m

2

+ m

0

1

1

Fдавл = N = 5,2 Н.

* Из последнего уравнения видно, что блок начнет вращаться только при T1 ≠ T2.

Заметим, что величина R (радиус блока), входящая в систему уравнений (1)-(3), при решении сокращается, т. е. ускорение грузов и силы натяжения нитей при заданных форме и массе блока не зависит от радиуса.

Задача 3.2

Маховик, жестко связанный со шкивом радиуса r = 0,1 м, может вращаться вокруг горизонтальной оси. Момент инерции системы относительно этой оси I = 0,2 кг·м2. На шкив навита нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. Пренебрегая работой силы трения, найти: 1) скорость, которую приобретет груз, опустившись на расстояние h = 1 м; 2) силу натяжения нити при движении груза.

В движении участвуют два тела: маховик (со шкивом) и груз. Момент инерции маховика и масса груза заданы. В начальный момент времени тела покоятся. Маховик и груз связаны нитью. Так как нить нерастяжима, скорости и ускорения всех ее точек одинаковы. Отсутствие скольжения нити по шкиву позволяет считать, что линейная скорость и тангенциальное ускорение любой точки обода шкива равны по модулю соответственно скорости и ускорению нити, поэтому vгруза = vнити = ωr и aгруза = aнити = εr, где ω и ε – угловые скорость и ускорение маховика.

Рис. 12

Груз, который можно считать материальной точкой, взаимодействует с Землёй и нитью (силы mg и T на рис. 12). Силы тяжести и реакции оси, действующие на маховик, не создают вращающих моментов, так как точки приложения этих сил совпадают с осью вращения. Однако маховик взаимодействует также с нитью (сила Т' на рис. 12). Эта сила направлена по касательной к шкиву и создает вращающий момент

′

].

(1)

M = [rT

Так как нить невесома, сила натяжения нити остается постоянной во время движения и Т' = T.

Так как вся система движется вследствие действия на груз силы тяжести, для определения скорости груза можно воспользоваться энергетическим методом. Маховик, груз и Земля образуют систему тел, полная энергия которой при переходе из положения 1 в положение 2 (рис. 12) не изменяется, так как сила тяжести – внутренняя консервативная сила, трением по условию задачи пренебрегаем, сила реакции оси работы не совершает. Изменение потенциальной энергии, рассчитанное по формуле (2.7),

∆Wп = −mgh ;

изменение кинетической энергии

∆W к =

mv2

+

Iω2

.

2

2

Тогда в соответствии с уравнением (2.9)

− mgh +

mv2

Iω2

+

= 0 .

2

2

Так как v = ωr, то

v2

I

mgh =

m +

,

2

r2

откуда

v = 2mgh

= 0,68

м .

m +

I

с

r2

Для нахождения силы натяжения нити запишем уравнения второго закона Ньютона (1.1) для груза и динамики вращательного движения (3.1) для маховика:

ma = mg + T , Iε = M .

В проекциях соответственно на оси у и z, показанные на рис. 12, с учетом (1)

ma = mg −T , Iε = Tr .

Решая эту систему совместно с условием связи a = εr, найдем силу натяжения нити

T =

mg

= 4,8 Н .

1 +

mr2

I

Задача 3.3

Однородный тонкий стержень длиной l может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей от его конца на расстоянии d = l/3. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Найти угловое ускорение и угловую скорость стержня в момент, когда он отклонен от горизонтального положения на угол φ (рис. 13). Рассмотреть также случаи, когда φ = 0 и φ = π/2.

α

Рис. 13

Тело вращается вокруг закрепленной оси. Форма тела и распределение масс заданы (однородный стержень), но масса тела неизвестна. Обозначив массу m, найдем момент инерции относительно данной оси по теореме Штейнера:

I= I0 + mb2 .

Вэтом выражении I == ml2/12 – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс, расстояние между осями b = l/2 – d = l/6. Расчет дает

I = ml9 2 .

Стержень взаимодействует с Землей (сила mg приложена к середине стержня) и с осью (момент силы реакции оси равен нулю). Проекция момента силы тяжести на ось вращения (положительное направление «от нас») равна его модулю

M= mgrsinα .

Вэтом выражении r = b = l/6 – модуль радиуса-вектора точки приложения силы тяжести; α = π/2 – φ – угол между этим радиусом-вектором и направлением силы тяжести. Таким образом,

M = mgl cosϕ . 6

Смотрите также файлы