Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

При φ = 0 (горизонтальное положение) ε = 3g/2l. При φ = π/2 (вертикальное положение) ε = 0.

Так как угловое ускорение переменно, угловую скорость удобнее находить изэнергетических соображений. Работу совершает только сила тяжести, поэтому полная энергия системы стержень-Земля при переходе из положения 1 в положение 2 не изменяется, т. е. справедливо уравнение (2.9). Так как кинетическая энергия в положении 1 равна нулю,

Изменение потенциальной энергии при переходе системы из положения 1 в положение

2:

∆Wп = −mgh ,

где h = bsinϕ = 6l sinϕ – перемещение центра масс в направлении силы тяжести. Окон-

чательно получим

Заметим, что используемая в ходе решения, но не заданная в условии масса тела в полученных выражениях для искомых величин отсутствует.

Задача 3.4

Горизонтальный диск (масса m1 = 20 кг, радиус R = 1 м) вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, делая n1 = 2 об/мин. На краю диска стоит человек массой m2 = 50 кг. Найти изменение угловой скорости диска при переходе человека в центр диска, пренебрегая моментом инерции человека относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс.

Рис. 14

Диск и человек вращаются вокруг закрепленной вертикальной оси с одинаковой угловой скоростью ω, причем в начальный момент ω1 = 2πn1. Изменение скорости происходит только в результате движения человека по диску (трением в оси нужно пренебречь). Характер изменения сил взаимодействия человека и диска достаточно сложен. Однако, если рассматривать систему человек-диск, то эти силы оказываются внутренними, а значит, не изменяющими ни импульс, ни момент импульса системы. Внешние силы в этой системе: сила реакции оси при движении человека, силы тяжести и сила реакции опоры. Последние две силы скомпенсированы и не создают момента относительно вертикальной оси. Сила реакции оси при движении человека направлена горизонтально перпендикулярно оси. Эта внешняя сила соизмерима с внутренними силами, поэтому импульс системы будет изменяться. Однако сила реакции оси не создает вращающего момента относительно заданной оси, поэтому при переходе системы из положения 1 в положение 2 (рис. 14) момент импульса системы остается постоянным, L1 = L2 или в проекциях на ось вращения L1 = L2.

В положении 1

L1 = (I д +I ч )ω1 ,

причем момент инерции диска

Iд = m12R2 ,

момент инерции человека по теореме Штейнера

I ч = I0 + m2 R2 = m2 R2 ,

так как I0 = 0 по условию. Следовательно,

В положении 2

L2 = m12R2 2πn2 ,

так как Iд не изменяется, а Iч = 0.

Подставив выражения для L1 и L2 в уравнение (3.6), получим

Таким образом, угловая скорость возрастает на величину

ω2 −ω1 = 2π(n2 − n1 )=1,05 с-1 .

Задача 3.5

На гладком горизонтальном столе лежит тонкий однородный стержень длиной l и массой m2, закрепленный на вертикальной оси, проходящей через один из его концов. В противоположный конец стержня ударяется маленький камень массой m1, скользивший по столу в направлении, перпендикулярном стержню, со скоростью v0. В результате удара камень останавливается. Найти угловую скорость стержня после удара.

В движении участвуют два тела, одно из которых до взаимодействия покоилось, а другое двигалось с заданной постоянной скоростью. После взаимодействия скорости тел изменяются: камень останавливается, а стержень вращается вокруг закреплённой оси с некоторой угловой скоростью ω. Причиной изменения движения тел является их взаимодействие – удар. Силы взаимодействия при ударе неизвестны, поэтому нельзя

использовать ни второй закон Ньютона, ни уравнение динамики вращательного движения.

v0

α

m1

Рис. 15

Если рассмотреть систему тел камень-стержень, то силы взаимодействия окажутся внутренними, т. е. не изменяющими ни импульса, ни момента импульса системы. Внешними по отношению к системе будут силы тяжести и нормальной реакции стола, а также горизонтальная сила реакции оси, возникающая при ударе. Сила трения по условию отсутствует. Силы тяжести и нормальной реакции стола для каждого тела скомпенсированы. Но внешняя сила реакции оси соизмерима с внутренними силами, поэтому импульс системы будет изменяться. Однако сила реакции оси не создает момента, так как она приложена к оси вращения; следовательно, момент импульса системы остается постоянным:

L1 = L2 .

До удара двигался только камень, который можно считать материальной точкой; момент импульса камня, а следовательно, и осей системы относительно оси

L1 = [r,m1v0 ], L1 = rm1v0 sinα ,

где r – радиус-вектор, проведенный от оси вращения к камню; α – угол между радиу- сом-вектором и вектором v0. Как видно из рис. 15, r sin α = l. Вектор L1 направлен по оси вращения (ось z), поэтому в проекции на эту ось

L1z = L1 = m1v0l .

После удара движется только стержень. Момент импульса стержня, а следовательно, и всей системы L2 = Iω, где I – момент инерции стержня относительно заданной оси вращения. По теореме Штейнера

Так как момент импульса стержня также направлен по оси z, то

Приравнивая проекции моментов импульса системы в соответствии с уравнением (3.6), получим

m1v0l = m2 l2ω . 3

Отсюда

ω = 3m1v0 . m2 l

Заметим, что в рассмотренной системе тел не выполняется ни закон сохранения энергии, ни закон сохранения импульса. Закон сохранения энергии выполнялся бы в случае, если удар был упругим, закон сохранения импульса – в случае, если бы стержень не имел закрепленной оси.

4. ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЯЗАТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 4.1. На вершине наклонной плоскости (угол наклона к горизонту 37°) укреплен легкий блок, через который перекинута нить с привязанными к ней с двух сторон грузами массой m1 = 0,3 кг и m2 = 0,1 кг. Найти силу натяжения нити и ускорения грузов, если коэффициент трения между грузом m2 и наклонной плоскостью равен 0,2.

Ответ: 1,3 Н; 5,5 м/с2.

Задача 4.2. Автомобиль массой 800 кг движется с постоянной скоростью 10 м/с по выпуклому мосту радиусом кривизны 80 м. Найти силу давления автомобиля на мост в наивысшей точке и в точке, для которой прямая, соединяющая ее с центром кривизны, составляет с вертикалью угол 25°.

Ответ: 6900 Н; 6100 Н.

Задача 4.3. С платформы, движущейся по инерции со скоростью 12 м/с произведён выстрел в направлении движения под углом 30° к горизонту. Масса платформы и орудия 500 кг, масса снаряда 20 кг. Начальная скорость снаряда относительно платформы после выстрела 600 м/с. Найти скорость платформы после выстрела.

Ответ: 8 м/с в противоположную сторону.

Задачи 4.4. Снаряд, летящий горизонтально со скоростью 200 м/с, разорвался на две части, массы которых 30 и 20 кг. Скорость большего осколка после разрыва 800 м/с и направлена под углом 30° к горизонту вверх. Найти модуль и направление скорости меньшего осколка.

Ответ: 795 м/с под углом 48° к горизонту вниз.

Задача 4.5. Мячик брошен с горки со скоростью 10 м/с под некоторым углом вверх. Найти его скорость в точках, находящихся на 2 м выше и на 1 м ниже точки бросания, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Ответ: 7,8 м/с; 11 м/с.

Задача 4.6. Грузик массой 20 г, висящий на длинной нити, отвели в сторону так, что нить отклонилась от вертикали на угол 60°, и отпустили. Найти силу натяжения нити и ускорения грузика (нормальное и тангенциальное) для момента, когда нить окажется под углом 30° к вертикали.

Ответ: 0,31 Н; 7,2 м/с2; 4,9 м/с2.

Задача 4.7. Найти скорость и изменение импульса молекулы массы m, летящей со скоростью v, после ее удара о поршень, движущийся навстречу молекуле со скоростью u. Массу поршня считать несоизмеримо большей массы молекулы, а удар абсолютно упругим.

Ответ: v +2u ; 2m(v + u).

Задача 4.8. Конькобежец приобретает скорость 4,95 м/с, а затем по инерции проезжает до остановки путь 62,5 м. Найти коэффициент трения, считая силу трения постоянной.

Ответ: 0,02.

Задача 4.9. Тележка массой 100 кг движется по рельсам со скоростью 1 м/с. Человек массой 60 кг догоняет тележку и вскакивает на нее под углом 30° к направлению ее движения. Скорость человека 3 м/с. Найти изменение суммарной кинетической энергии человека и тележки. Объяснить полученный результат.

Ответ: –116 Дж.

Задача 4.10. Человек, стоящий на коньках, кидает груз массой 2 кг прямо перед собой со скоростью 3 м/с. Масса человека 70 кг. Найти работу, совершенную человеком.

Ответ: 9,26 Дж.