Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

вести гиперболу (изотерму) через точки 1 и 2, показанные на рис. 1, то видно, что все точки прямой 1-2 (заданный процесс) лежат выше этой гиперболы, т. е. соответствуют температурам большим, чем T1 = T2. Это становится ясным, если сравнить две точки – на прямой 1-2 и на гиперболе 1-2, лежащие на одной вертикали, т. е. соответствующие одному объему: согласно закону (1.3) большему давлению

(точка на прямой) соответствует и большая температура. Рис. 1 Следовательно, в рассматриваемом процессе температура сначала растет до максимального значения Tmax, а затем убывает до первоначального значения.

Положение точки M, соответствующей максимальной температуре, можно найти, если провести семейство изотерм, одна из которых будет только касаться прямой 1-2. Эта изотерма показана на рис. 1. Таким образом, температура возрастает на участке 1-М и падает на участке М-2.

Задача 1-4

Два сосуда емкостью V1 = 0,02 м3 и V2 = 0,05 м3 соединены короткой и узкой трубкой с краном. В первом сосуде находится водород при давлении р1 = 2·105 Па, во втором сосуде – азот при давлении р2 = 8·105 Па. Найти давление, которое установится в сосудах после открытия крана, считая, что температура газа в сосудах все время равна температуре окружающей среды.

Каждый из рассматриваемых газов, занимавших в начальном состоянии объемы V1 и V2, расширяются до объема V = V1 + V2.

По условию задачи процесс можно считать изотермическим, и согласно (1.4):

где p1' и p2' – давления каждого из газов после расширения.

В результате этого процесса в объеме V = V1 + V2 оказывается смесь газов, причем давления р1 и р2 являются парциальными давлениями газов в смеси. Согласно закону Дальтона давление смеси газов р = р1 + р2 p = p1′ + p2′ .

Анализ и решение задач этого параграфа проводится в такой последовательности:

1.Выяснить из условия, является ли объектом задачи идеальный газ, находящийся

вравновесном состоянии, или рассматривается совокупность молекул, поставленная в какие-либо специфические условия, например, молекулярный пучок и т. п.

2.В случае, если идеальный газ находится в равновесном состоянии, то для него выполняются соотношения (2.1)-(2.5), которые позволяют найти искомые по условию задачи параметры газа.

3.Если рассматриваемые в задаче газы известны, но не указаны их молярные массы и число степеней свободы, то эти значения следует выяснить до решения задачи.

4.Если газ переходит из одного равновесного состояния в другое, следует выяснить характер процесса и записать соотношение между параметрами газового состояния для данного процесса (соотношения (1.2)-(1.5)).

5.Если в задаче описывается газ или совокупность молекул, находящихся в специфических условиях, то следует выяснить, какую механическую модель поведения этой совокупности молекул можно принять при решении данной задачи. Если в условии задачи механические характеристики и свойства заданы, то при решении задачи следует использовать известные законы механики (например, задача 2-5).

Задача 2-1

Смесь азота и гелия при температуре T = 300 К оказывает на стенки сосуда давление р = 1,3·102 Па. Найти общую концентрацию молекул в смеси и среднюю кинетическую энергию (поступательного движения и полную) молекулы каждого из газов.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии.

Суммарная концентрация молекул, независимо от природы газа (т. е. от молярных масс и числа степеней свободы), может быть найдена из уравнения (2.1). Отсюда

n = kTp = 3 1022 м-3 .

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы не зависит от количества атомов в молекуле и у молекул обоих газов будет одинакова:

W0п = 23 kT = 6,3 10−21 Дж .

Средняя полная кинетическая энергия молекул (2.4) зависит от числа степеней свободы i, т. е. от числа атомов, составляющих молекулу.

Гелий – одноатомный газ (i = 3) и

Азот – двухатомный газ (i = 5) и

W0 = 25 kT =10,5 10−21 Дж .

Задача 2-2

При давлении р = 1,68·105 Па плотность кислорода ρ = 1,4 кг/м3. Найти среднеквадратичную скорость молекул кислорода и температуру газа.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии с заданными плотностью и давлением. Плотность газа

ρ = Vm = mV0 N = m0 n .

Подставляя это выражение в основное уравнение молекулярно-кинетической теории для давления

p = 23 nW0п = 13 m0 nvкв2 ,

получим

p = 13 ρvкв2 .

Температура может быть найдена из выражения (2.3). Учитывая, что молярная масса кислорода µ = 32·10-3 кг/моль, получим

Задача 2-3

Вбаллоне емкостью V = 0,05 м3 находится ν = 0,12 молей газа при давлении

р= 0,6·105 Па. Найти среднеквадратичную скорость, среднюю полную кинетическую

энергию одной молекулы и суммарную кинетическую энергию всех молекул в двух случаях: 1) в баллоне находится гелий; 2) в баллоне находится пропан.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии с известными из условий задачи молярной массой и числом степеней свободы: для гелия µ = 4·10-3 кг/моль, i = 3; для пропана µ = 44·10-3 кг/моль, i = 6.

Все величины, которые требуется найти в задаче, однозначно определяются температурой газа.

Вобоих случаях в одном и том же объеме содержится одинаковое число молей

ν= mµ газа, следовательно, при одинаковом давлении в обоих случаях и температура

будет одинаковой и может быть найдена из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1)

T = νpVR = 300 К .

Среднеквадратичная скорость находится непосредственно по формуле (2.3).

Для гелия vкв = 1370 м/с; для пропана vкв = 410 м/с. Средняя полная кинетическая энергия одной молекулы находится непосредственно по формуле (2.4). Для гелия W0 = 6,3·10-21 Дж; для пропана W0 = 12,6·10-21 Дж. Кинетическая энергия всех молекул газа находится непосредственно по формуле (2.5). Для гелия W = 4,5·103 Дж; для про-

дана W = 9,0·103 Дж.

Задача 2-4

Двухатомный газ, занимавший при давлении р1 = 1·105 Па объем V1 = 0,003 м3, расширяется до объема V2 = 0,004 м3. Найти полную кинетическую энергию молекул газа до расширения и ее изменение, если расширение происходит: а) изотермически, б) изобарно.

Рассматривается идеальный газ, участвующий в заданных квазистатических процессах.

Число степеней свободы молекулы двухатомного газа i = 5.

Полная кинетическая энергия всех молекул до расширения газа согласно (2.5) и (1.1):

W1 = 2i p1V1 = 7,5 102 Дж .

Изменение полной кинетической энергии всех молекул при расширении