Файл: Переработанные лекции (1).pdf

Преобразование непрерывного сигнала Фурье

Прямое Фурье-преобразование непрерывного одномерного сигнала:

F f x exp j2 x dx

Обратное Фурье-преобразование непрерывного одномерного сигнала:

f x F exp 2 x d

Прямое Фурье-преобразование непрерывного двумерного изображения:

Обратное Фурье-преобразование непрерывного двумерного изображения:

Некоторые выводы, следующие из свойств:

При применении преобразования Фурье не происходит потеря информации.

По определению преобразование Фурье разделимо, это значит, что преобразование по любой координате можно провести отдельно.

По определению собственная функция — это функция, для которой на выходе системы будет та же функция, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Фундаментальное свойство линейной системы инвариантной к сдвигу заключается в том, что её собственная функция — это комплексная

отклика и называется частотный отклик или частотной характеристикой системы. Она показывает комплексную амплитуду ответа системы на определенную пространственную частоту.

Теорема о свертке гласит, что свертка двух функций может быть определена через обратное преобразование Фурье произведения результатов преобразований Фурье этих двух функций. Обратная теорема гласит, что преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке их Фурье образов. Выводом из теоремы о сверке так же является пространственная

Смена переменных показывает, что функция c x, y так же представляет собой свертку h x, y f x, y . В результате получаем формулу:

Ñ1, 2 H 1, 2 F 1, 2

Еще одним важным свойством Фурье преобразования является то, что интегрирование двух функций равно их интегралу их Фурье образов, т.е.:

Если h f , то данная формула превращается в теорему Парсеваля для энергии:

Т.е. полная энергия функции такая же, как у её преобразования Фурье.

Преобразование дискретного сигнала Фурье

Преобразование Фурье (прямое и обратное) одномерного дискретного сигнала:

X x n exp jn

Преобразование Фурье (прямое и обратное) двумерного дискретного сигнала функции x(m,n) определяется как:

Здесь функция X 1, 2 является периодичной с периодом 2π каждого аргумента:

X 1 2 ,2 2 X 1 2 ,2 X 1,2 2 X 1,2

Аналогично с преобразованием Фурье непрерывных функций, H 1, 2 ,

преобразование Фурье от функции импульсного отклика системы инвариантной к сдвигу называется частотной характеристикой системы.

Свойства дискретного Фурье-преобразования:

m n

Где z1, z2 — комплексные переменные.

Набор значений z1, z2, для которых эта последовательность равномерно сходится, называется областью сходимости. Z-преобразование функции импульсного отклика системы инвариантной к сдвигу называется передаточной функцией.

H z h n z n

n

Применяя к Z-преобразованию теорему о свертке, получаем:

Y z1, z2 H z1, z2 X z1, z2

H z1, z2 Y z1, z2 X z1, z2

Т. е. переходная функция представляет собой так же отношение z-преобразований входного и выходного сигналов.

Обратное Z-преобразование — восстановление двумерного сигнала:

сводится к преобразованию Фурье.

В случае если Z-образ сигнала можно разложить в ряд по степеням комплексных переменных, то цифровой двумерный сигнал представляет собой коэффициенты при соответствующих слагаемых ряда этого разложения.