Файл: Переработанные лекции (1).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.04.2025

Просмотров: 756

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таблица z-преобразований:

Исходная функция f x, y

Преобразование Фурье F 1, 2

n

1

n n0

1

zn0

comb n

z

1

z 1

1 z 1

an comb

n

; a 1

z

1

z a

1 a z 1

n comb n

z

z 1

z 1

2

2

1 z 1

an n comb n

a z

a z 1

z a

2

1

2

1 a z

1 an

n comb

n

z 1 a

z a z 1

Свойства z-преобразования:

Свойство

Исходная функция

Z-преобразование

x m, n , y m, n , h m, n

X z1, z2 ,Y z1, z2 , H z1, z2

Отображение

x m, n

X z1 1, z2 1

Линейность

x m, n

x

m, n

1 X1 z1, z2 2 X2

z1, z2

1

1

2

2

Комплексная

x m, n

X z1 , z2

сопряженность

Сепарабельность

x1 m x2 n

X1 z1 X2 z2

Смещение

x m m0 , n n0

z1 m0 z2 n0

X z1, z2

Модуляция

ambn x m, n

X

z1

,

z2

a

b

Свертка

h m, n x m, n

X z1, z2 H z1, z2

Умножение

h m, n x m, n

1

2

z

z

2

z , z

dz dz

X

1

,

Y

1

2

2 j

z

z

z

z

1 2

C1 C2

1

2

1

2

Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент tn, n=n0 зависит от отсчёта входной последовательности с номерами меньше чем. Для соблюдения условия физической реализуемости функция не должна иметь ненулевых

решений меньше нуля, то есть h n 0 при n 0 .

H z h n z n

n 0

Основываясь на этом выражении, любую последовательность можно назвать x[n] каузальной если x n 0 при n 0 .

Передаточную характеристику можно представить в виде формулы:

M

H z

(z zi )

i 1

N

(z p j )

j 1

Где zi

— нули передаточной функции, т. е. точки, где функция H z обращается в

ноль,

pi

— полюса передаточной функции, т. е. точки, в которых функция H z

стремиться к бесконечности.

Система называется устойчивой, если при любой входной ограниченной последовательности выходная тоже ограничена.

Правило устойчивости для одномерной системы:

h n

n

Правило устойчивости для двумерной системы:

h m, n

m,n

Для выполнения свойств устойчивости и каузальности переходная функция H z должна иметь полюса внутри единичной окружности. Z-преобразование применяется для расчета БИХ фильтров.

Оптическая и модуляционная передаточная функция

Оптическая передаточная функция характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот. Для пространственно инвариантной системы оптическая передаточная функция определяется как нормированная передаточная функция:

OTF H 1, 2

H 0, 0

Модуляционная передаточная функции определяется как модуль оптической передаточной функции:

MTF H 1, 2

H 0, 0

Для дискретного сигнала эти формулы так же справедливы.

Матричная алгебра

Обычно одно или двухмерные сигналы представляют в виде векторов или матриц. Вектор столбец x, состоящий из N элементов обозначают так:

x 1

x 2

x {x(n)}

x

N

Матрица А имеющая M строк и N столбцов обозначают так:

a 1,1

a 1,1

a 1, N

a

2,1

A {a(m, n)}

a M ,1 a M , 2

a M , N

При работе с двумерными сигналами обычно удобно представлять изображение

в виде матрицы.

Сведения из матрацной алгебры:

Название

Обозначение

Описание

Матрица

A {a(m, n)}

m — номер строки, n —

номер столбца

Транспонирование

Матрица отражается

T

a n, m

A

относительно главной

диагонали.

Комплексное

a

m, n

сопряжение

A

Комплексно-

T

a

n, m

A

сопряженное

транспонирование

Единичная матрица

Элементы на главной

I

m n

диагонали равны единице,

остальные элементы равны

нулю.

Нулевая матрица

O 0

Все элементы нули.

Сумма

матриц

A

B

a

m, n

b

m, n

Матрицы A и B должны

(изображений)

иметь

одинаковые

размеры.

Умножение матрицы

A a m, n

на скаляр

Размерность матрицы A —

Перемножение

K

матриц

c m, n

a m, k b k, n

M K , B — K N , C

—

k 1

M N , в

общем случае

AB BA

Коммутативность

AB BA

В общем

случае

это

неверно.

Скалярное

x, y

x T y x n y n

Результат — скаляр, если

произведение

n

равен нулю — x, y

ортогональны.

Векторное

произведение

Симметрия Матрица Эрмита

Детерминант Обратная матрица

След матрицы Собственные числа Собственные функции

xyT x m y n

A AT

A A T

A

A 1

A 1 A AA 1 I

Tr A a(n, n)

n

Все корни: A k I 0

Все решения:

A k k k ,

k 0

Размерность x — M 1, y — N 1, результат операции

матрица с размерностью

M N

Все элементы на главной диагонали матрицы — реальные числа, остальные элементы a m, n a n, m .

Определяется только для квадратных матриц. Определяется только для квадратных матриц.

Сумма диагональных элементов матрицы.

Определение детерминанта для матриц:

det A

a11

a11

a12

det A

a11

a

a

a a

a21

a22

11

22

12

21

det A

a11

a12

a13

a

a22

a23

a

a21

a23

a

a21

a22

a

a

a

21

22

23

11

a

a

12

a

a

13

a

a

a31

a32

a33

32

33

31

33

31

32

a11 a22 a33 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31

Умножение матриц:

a11

a12

b11 b12 b13

a11

b11

a12 b21

a11

b12

b11

a22 b21

a21 b12

A B a21 a22

a21

a a

b21 b22 b23

a

b

a b

a

b

31

32

31

11

32 21

31

12

Возьмем 2 вектора:

x 1

x 1

x 2

x 2

x

,

y

x 3

x 3

x 4

x 4

Скалярное произведение векторов:

x, y x(1) y(1) x(2) y(2) x(3) y(3) x(4) y(4)

a12 b22

a22 b22

a32 b22

a11 b13 a21 b13 a31 b13

a12

a22

a32

b23

b23

b23

Векторное произведение векторов:

i

j

k

x 2 y 3 x 3 y 2

x, y

x 1

x 2

x 3

x 1 y 3 x 3 y 1

y 1

y 2

y 3

x 1 y 2 x 2 y 1

Свойства операций над матрицами:

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA.

Свойства операции транспонирования матриц:

(AT)T = A

(AB)T = BTAT

(A − 1)T = (AT) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.

(A − 1)* = (A*) – 1 (AВ ) * = A*B*

Случайные сигналы

Дискретный случайный сигнал или процесс представляет собой

последовательность

случайных

(недетерминированных)

переменных,

характеризующихся:

u

1.

Средним значением (математическим ожиданием):

,

n

n

E u

n

Где символ E обозначает оператор математического ожидания.

2. Дисперсией (мерой разброса случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания):

u2 n 2 n E

u n n

2

3.Ковариацией (мерой линейной зависимости двух случайных величин): cov u(n),u(n ) ru (n, n ) r(n, n ) E u(n) (n) u (n ) (n )

4.Взаимной ковариацией

cov u(n), (n ) ru (n, n ) E u(n) u (n) (n ) (n )

Плотность вероятности функции случайной переменной u обозначается pu(u). Распределение Гаусса от случайной переменной:

1

u

2

pu u

exp

2 2

2 2

Если 0 ,

2 1

то

распределение называется стандартным нормальным

распределением.

Случайная последовательность u(n) называется стационарной в строгом смысле

если:

Смотрите также файлы