ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.04.2025
Просмотров: 757
Скачиваний: 0
E u n constante
Eu n u n r n n
Стационарный процесс характеризуется постоянством основных характеристик случайного процесса (среднего значения, дисперсии и т.д.).
Две случайных переменных x и y являются независимыми только в том случае, если совместная функция плотности вероятности может быть записана как:
px, y x, y px x py y
Две случайных последовательности x(n) и y(n) являются независимыми тогда и только тогда, когда для любых значений n и n′ величины x(n) и y(n′) так же независимы.
Двумерные случайные сигналы (изображения) характеризуются статистическими моментами 1-го и 2-го порядков (средним значением и дисперсией).
Для стационарного двумерного сигнала характерно:
m, n const
ru m, n; m , n ru m m , n n r m m , n n
Этот сигнал является так же пространственно инвариантным.
Случайный двумерный сигнал называется белым шумом, если любые два элемента изображения взаимно некоррелированы, т. е. функция ковариации имеет вид: rx m, n; m , n x2 m, n m m , n n
Ковариационная функция называется сепарабельной, если она может быть представлена произведением ковариаций соответствующих одномерных сигналов: Для нестационарного сигнала:
r m, n; m , n r1 m, m r2 n, n
Для стационарного сигнала: r m, n r1 m r2 n
Пример 1 – разделимая стационарная функция ковариации
r m, n 2 |
m |
n |
, |
1, |
2 |
1 |
|||||||||||
1 |
2 |
1 |
|||||||||||||||
При этом дисперсия характеризует “одношаговую” корреляцию:
r 1, 0 |
/ 2 , |
2 |
r 0,1 / 2 |
|||||
1 |
||||||||
Пример 2 - неразделимая ковариационняа функция |
||||||||
r m, n 2 exp |
||||||||
1m2 2n2 |
||||||||
, то ковариация r m, n становится функцией расстояния d |
||||||||
Если |
2 |
m2 n2 : |
||||||
1 |
||||||||
r m, n 2 d ,
Где exp
Такая функция называется изотропной и циркулярно-симметричной.
На практике расчет среднего значения и ковариационной функции проводится по приближенным формулам:
1 |
M |
N |
||
ˆ |
u m, n |
|||
MN m 1 |
n 1 |
|||
r m, n rˆ m, n |
1 |
MN |
M m N n |
||
u m , n ˆ |
u m m , n n ˆ |
|
m 1 n1 |
Краткие сведения из теории информации
Предположим, есть источник, генерирующий независимые сигналы (например, соответствующие некоторым уровням серого) rk с вероятностью pz , k=1,…,L.
Тогда количество информации связанной с rk определяется по формуле:
Ik log2 pk bits
L
При этом: pk 1
k 1
Все значения pk 1 и значение Ik не является отрицательным.
Энтропия (с точки зрения информационной теории) определяется как среднее количество информации, генерируемое источником:
L
H pk log2 pk bits / message
k 1
Для цифрового изображения, рассматриваемого как “источник” (ансамбль) независимых пикселей, энтропию можно оценить по гистограмме.
Для заданного L (количества градаций серого) энтропия источника принимает максимальное значение для равномерного (равновероятного) распределения, т.е. pk 1/ L, 1,..., L . В таком случае:
L |
1 |
1 |
|||
max H |
log2 |
log2 L |
|||
L |
|||||
k 1 |
L |
||||
Например, для источника бинарного изображения, т. е. L 2 . Тогда если p1 p , p2 1 p , энтропия для данного рисунка будет определяться формулой:
H H p p log2 p 1 p log2 1 p
Максимальное значение |
энтропии |
при |
равномерном законе |
распределения, |
|||
т.е. max H 1bit, |
p 1/ 2 . |
||||||
Если |
же |
появление |
0 |
или |
1 |
неравновероятно, |
например при |
p 1/ 8 |
H 0.2 bits , и согласно теории информации Шеннона, можно найти схему |
||||||
кодирования таких сообщений, при которой потребуется всего 0,2 бита на сообщение.
Двумерная дискретизация
Основное требование при компьютерной обработке изображений — трансформация (физически непрерывной) функции в дискретную форму.
Оцифровка включает в себя последовательное выполнение двух операций:
–дискретизации
–квантования
f x, y |
fS x, y |
u m, n |
Процедура визуализации изображения предусматривает операцию дискретноаналогового преобразования:
u m, n |
f x, y |
Математически процесс дискретизации изображения продемонстрируем для двумерной функции с ограниченным спектром.
Двумерная функция f x, y имеет ограниченный спектр, если для Фурьеобраза F 1, 2 выполняется условие F 1, 2 0 :
1 x0 ; 2 y0
Где переменные x0 ; y 0 — максимальные пространственные частоты по x и y. В
случае циркулярной симметрии:0 x0 y0
Фурье-образ дискретизированного сигнала представляет собой периодически повторяющийся Фурье-образ непрерывной функции.
Идеальная дискретизирующая функция представляет собой (бесконечный) двумерный массив дельта-функций, расположенных в узлах прямоугольной сетки с
периодами решетки x , y :
comb x, y; x, y x m x, y n y
m n
Операция дискретизации есть произведение исходной функции на дискретизирующую:
fS x, y f x, y comb x, y; x, y f m x, n y x m x, y n y
m n
Фурье-образ дискретизирующей функции ступеньки с периодами решетки x ,y это также функция ступеньки с периодами решетки 1 x , 1 y :
COMB 1, 2 F comb x, y; x, y xs ys 1 k xs , 2 l ys
k l
xs yscomb 1, 2 ; 1 x , 1 y
Пространственные частоты дискретизации по координатным направлениям равны величинам, обратным соответствующим шагам дискретизации:
xs 1 x , ys 1 y
Воспользуемся правилом, согласно которому произведение функций в исходном пространстве эквивалентно свертке соответствующих Фурье-образов:
1 k xs , 2 l ys |
|||
FS 1, 2 F 1, 2 COMB 1, 2 xs ys F 1, 2 |
|||
k l |
|||
xs ys F 1 k xs , 2 l ys |
|||
k l
Фурье-образ дискретизированной функции представляет собой периодическую (бесконечную) комбинацию Фурье-образа исходной (непрерывной) функции, продублированного в узлах сетки с периодом xs , ys .
Если спектр исходного (непрерывного) изображения может быть каким-либо образом восстановлен из спектра дискретного, то мы можем восстановить и исходную функцию.
Это возможно, если выполняются условия:
xs 2 x0 , |
ys 2 y0 |
Это эквивалентно условию выбора шагов дискретизации, удовлетворяющих:
x |
1 |
, |
y |
1 |
2 x0 |
2 y0 |
|||
В этом случае “сохранить” Фурье-образ исходной функции можно, применив идеальный низкочастотный фильтр со следующими характеристиками:
1 |
, |
1, 2 |
|||||
H , |
2 |
xs ys |
|||||
1 |
|||||||
0, |
èí à÷å |
||||||
При этом результат действия фильтра приводи к исходному Фрье-образу: |
|||||||
F 1, 2 H 1, 2 FS 1, 2 F 1, 2
Нижние границы пространственных частот, при которых возможно сохранение (восстановление) спектра исходной функции 2 x0 , 2 y0 называют пространственными
частотами Найквиста (Котельникова). Теория дискретизации констатирует, что функция с ограниченным спектром, дискретизированная с частотой выше частоты
Найквиста, |
может быть восстановлена без ошибки с помощью простейшего |
(идеального) |
низкочастотного фильтра. Если же условие не выполняется, т. е. |
xs 2 x0 , ys |
2 y 0 то соседние Фурье-образы будут накладываться друг на друга, тем |
самым искажая спектр.