ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.04.2025
Просмотров: 224
Скачиваний: 0
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ВМ-2 К ЭКЗАМЕНУ.
1.
дифференц. в точке
?
Решение:
Аналогично
функция
не является дифференцирумой в точке
.
2. Найти сумму ряда:
Дело
в том, что в книжках разобран вариант
ряда номер 2). От варианта номер 1) он
отличается только тем, что суммирование
ведется с
.
Если же
,
то следует воспользоваться моим решением:
(но не факт, что оно правильное).
1).
Если ряд такой:
Решение:
Произведем
замену переменной:
Найдем
сумму ряда
.
Рассмотрим производную
.
Сумма убывающей геометрической
прогрессии. Произведем обратные
преобразования для нахождения суммы
ряда
,
то есть возьмем интерграл.
.
Чтобы
найти константу
,
найдем значение ряда в некоторой
фиксированной точке
.
Таким образом, сумма ряда:
при
.
И не существует при всех остальных x.
2).
Если ряд такой:
.
Решение:
Произведем
замену переменной:
Найдем
сумму ряда
.
Рассмотрим производную
.
Сумма убывающей геометрической
прогрессии. Произведем обратные
преобразования для нахождения суммы
ряда
,
то есть возьмем интерграл.
.
Чтобы
найти константу
,
найдем значение ряда в некоторой
фиксированной точке
.
Таким образом, сумма ряда:
при
.
И не существует при всех остальных x.
3.
в
.
=?
=?
Решение:
4.
.
Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Обозначим
Используем признак Даламбера:
Так
как по признаку Даламбера ряд сходится,
если для всех достаточно больших
выполнено
неравенство
и
расходится, когда
,
то исходный ряд сходится.
5.
.
Решение:
6. Исследовать на сходимость ряд:
Решение:
Воспользуемся предельным признаком сходимости:
Если
два ряда
и
удовлетворяют
условию
,
где
-
конечное число, не равное 0, то ряды
и
сходятся
или расходятся одновременно.
Рассмотрим следующий ряд:
.
-
это конечное число не равное нулю. Значит
ряды
и
сходятся
или расходятся одновременно.
Для исследования сходимости второго ряда используем интегральный признак сходимости рядов.
Если
некоторая функция
удовлетворяет условию
,
то если
сходится, то и ряд
сходится,
а если
расходится, то и ряд
расходится.
Рассмотрим следующую функцию:
.
Интеграл
сходится, значит и ряд
сходится.
А из сходимости этого ряда следует
сходимость исходного.
Ряд
сходится.
7.
8.
Решение:
Разложим этот ряд на сумму двух более простых рядов:
Найдем
.
Заметим, что
есть производная от функции
,
умноженная на
.
Сумма
ряда
есть
сумма убывающей геометрической прогрессии
и поэтому равна
,
при условии, что
.
Тогда производная от
такова:
Тогда
при
и не существует при
Ответ:
9.
.
Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Обозначим
-й
член этого ряда
:
.
Найдем
.
Тогда
ряд
сходится по признаку Лейбница (по крайней
мере условно).
10.
Доказать,
что
в точке
Решение:
.
Действительно
и
не являются непрерывными в точке
.
.
Эта функция не является непрерывной в
точке